フィードバック制御系の安定性（位相余有）

質問

フィードバック制御系の安定性判別に用いられる位相余有について，質問があります．

開ループ伝達関数のゲインクロス周波数（ゲインが0dbとなる周波数）において，位相が-180度以上だと，負帰還フィードバック系が安定化します．

逆に，ゲインが0dbの周波数で，位相が-180度だと，ポジティブフィードバックとなってしまい，系が発散する．

というのは，理解しています．しかしながら，

・ゲインクロス周波数より低い周波数領域で，位相が-180度かそれ以下
→ゲインクロス周波数近傍では位相が-180度以上
→それ以上の周波数で再び位相が-180度以下になる

のような系でも，負帰還フィードバック系にすると，安定化する場合があります．例えば，GH = 0.1*(4s+1)/s^2/(0.1s+1)/(0.2s+1)のような一巡伝達関数が挙げられるかと思います．

しかし，上記伝達関数では，ゲインクロス周波数より低い帯域では，ゲインが0dB以上にもかかわらず，位相が約-180度の領域が存在します．この領域では，ポジティブフィードバックになってしまい，系が発散してしまうと思うのですが，なぜ，安定化するのでしょうか？

ナイキストの安定判別法などは一通り理解しておりますが，感覚的にわかるように教えていただけるでしょうか？
よろしくお願いします．

なお，似たような質問を見つけましたが，納得のいく回答が見つかりませんでした．
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3024501.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2764801.html

回答No.6

noname#101087

>負帰還の「パラドクス」ですか…。

今ごろ、ご質問の核心が見えてきました。
閉ループに制御機能が無ければ、単なる演算器なので、ループ信号は発散してしまいますね。

オペアンプなどを使って制御機能をもたせないと、たとえば
　-A(x+Ay) = y
を満たすループは実現できない、ということなのでしょう。

回答No.5

noname#101087

>たとえば，ω=1のとき，利得が20dB，位相が-180度の一巡伝達関数があったと仮定して，これを負帰還する場合を考えます．
>入力信号の大きさが+１だと，出力信号は-10，これを負帰還すると，(+1 +10)=+11の信号がシステムに入力されるので，出力は-110，．．．以後発散となる気がします．

負帰還の「パラドクス」ですか…。

単純に、一巡伝達関数を -A (実数) として閉ループ伝達関数を見ると、
　減算出力では、1/(1-A)
　減算出力では、A/(A-1)
だから、発散するのは A = 1 のときだけ。

たぶん、1/(1-A) = (1+A+A^2+ .... +A^n)/{1-A^(n+1)} が、A≠1 のときのループ循環なのでしょうね。

回答No.4

noname#101087

当方、「ナイキストの安定判別」をグラフ化できる環境じゃありません。(使わないので)
ので GH の Bode 線図から Nyquist 線図をイメージしてみましょうか。

まず Bode 線図。
　ωを +0→+∞と増やした場合、
　dB カーブは、-20 dB/decade の右下がりで、途中に 2 つの極で踊場があり、また右下がり。
　deg カーブは、-180 度から、一旦 -120 度まで増えてから右下がりに転じ、-270 度へ達してフラットになる。

Nyquist 線図のイメージ。
　複素平面の第三象限 -180 度の無限遠点から第二象限の -120 度まで行き、ふたたび第三象限へ戻って原点に到達。
　その間、-1 の点は Nyquist 線の下になる。
　ω -∞→-0 の Nyquist 線は、実軸に対し +0→+∞のものと上下対称なカーブ。(complex conjugate)
　　　↓
　難問は s=0 (原点)の近傍で、原点を避け近傍半円を半周たどるのが定石。
　　　↓　参照ページ
　http://mop.fya.jp/class/nyquist/nyquist.pdf
>虚軸上にF(s) の極および零点がある場合(図6) / 定理2 (Nyquist の安定判別法)

結局、Nyquist 線図は -1 の点を 2 回時計回りします。
この回数が原点極の重複度と一致してるので「負帰還閉路は安定」というのが「Nyquist の安定判別法」による結論ですね。

お礼

しばらく不在にしていたため，お返事が遅くなり，大変申し訳ありません．

ナイキストの安定判別法から，上記の一巡伝達関数が負帰還で安定化することはわかるのですが，ご指摘いただいたように，

>ωを +0→+∞と増やした場合
>dB カーブは、-20 dB/decade の右下がりで、途中に 2 つの極で踊場があり、また右下がり。
>deg カーブは、-180 度から、一旦 -120 度まで増えてから右下がりに転じ、-270 度へ達してフラットになる。

において，ω=0近傍では，dBが0以上なのに，degは約-180度ですよね．この周波数領域は，負帰還すると，感覚的には発散してしまうと思うのですが，なぜ，安定化するのか？というのが，質問です．（わかりにくくて申し訳ありません）

たとえば，ω=1のとき，利得が20dB，位相が-180度の一巡伝達関数があったと仮定して，これを負帰還する場合を考えます．

入力信号の大きさが+１だと，出力信号は-10，これを負帰還すると，(+1 +10)=+11の信号がシステムに入力されるので，出力は-110，．．．以後発散
となる気がします．しかし，実際はナイキスト判別法然り，質問分のシステムの場合は安定化してしまうのが，どうも腑に落ちないのです．

回答No.3

noname#101087

フィードバック系の安定性を決めるのは閉ループ伝達関数の極ですから、直接 1+GH の極を求めてしまうのが実戦的ではあります。

開ループ伝達関数の段階で安定性を検討するには、まずそれが s = -1 を通らないことを確かめるのがふつう。
GH (jω) のゲイン 0dB 、位相 -180度のポイントですね。

Nyquist 流だと、「そこを通らなくとも時計周りにぐるりと回ると不安定」なので、チェックが面倒。
理論的には 1+GH の極を直接求めるのと等価なので、余計な詮索をせずに直接 1+GH の極を求めてしまいがちなのです。

回答No.2

noname#101087

失礼。ランチ・ブレークにコソソコソやるもんで、案の定の入力。

おっしゃるとおり、閉ループ伝達関数の分母は、
　(s + 10.35)(s + 4.229)(s^2 + 0.4188*s + 0.1142)

確かに、Hurwitz 多項式。
「安定性チェック」はこれくらいしか手馴れてません。
それすらデータミスしちゃ、役立たずでした。

お礼

いえいえ，とんでもございません．
お昼休憩のお時間を割いていただき，ありがとうございます．

回答No.1

noname#101087

そもそも、例挙された一巡伝達関数 GH は「安定化する」のでしょうか？

GH を、
　0.1*(4s+1)
　----------------
　s^2(0.1s+1)(0.2s+1)

だとして 1±GH の零点を試算してみると、複号のどちらでも s の右半平面にも現れます。

当方が、何か錯誤しているのでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます．
質問分で挙げたGHは，178tall様のもので間違いありません．
私が計算すると，1+GHの零点は
-10.4
-4.23
-0.209 +/- 0.265i
となり，全て左半平面ですが，いかがでしょうか？（３桁以下，四捨五入）
ナイキストの安定判別も安定条件を満たしますし，実際に（シミュレーションですが，）負帰還フィードバックをした状態でのステップ応答は，収束しました．

質問について，もし何かわかりましたら，よろしくお願いします．

補足

この場をお借りしますが，以後，簡単にするため，H=1として考えさせていただきます．