ベクトルに関する問題の質問です

質問

相異なる4点O,A,B,Cは同じ平面上にないとし、↑ＯＡ=↑a ↑OB=↑b ↑OC=↑c
とする。
(↑a ・ ↑b) ↑c + (↑b ・ ↑c) ↑a + ( ↑c ・ ↑a) ↑b = 0 が成立するための必要十分条件をベクトルa ,ベクトルb,ベクトルc と漢字とかなのみ用いて答えなさい
という問題です
解説中の分数に変えるあたりがどうしてそうしたのかいまいちわかりません
また、別解はあるのでしょうか？
この問題は大門の一部なので条件が抜けていたらすいません

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.4

think2nd

No3 です、誤解を生むミスがありました。
たとえばαが0でなければ、
　　　(1)は　↑c =- β/α ↑a + γ/β↑b = ↑0
を
　　たとえばα　が0でなければ、
　　　(1)は　↑c =- β/α ↑a - γ/α↑b
　と訂正してください。

　　回答はNo2さんと同じでした。悪しからず(*_*)

回答No.3

think2nd

素直に考えれば
別解などいらないと思います。
　ひょっとして、失礼ながら、必要十分条件の箇所が気になるのではありませんか?

"相異なる4点O,A,B,Cは同じ平面上にないとし、↑ＯＡ=↑a ↑OB=↑b ↑OC=↑c
とする。"まで問題文にありますよね。あれば親切です。この3つのベクトルは題意から零ベクトルではありません。しかも位置ベクトルです。
(↑a ・ ↑b)=α
(↑b ・ ↑c)=β
( ↑c ・ ↑a)=γとおきましょう
　α ↑c + β ↑a + γ↑b = ↑0・・(1)
を見て、鉛筆を動かして、pictureするとimage、ideaが浮かびませんか。どう書いても書けないでしょ。零にならないでしょうからね。(物理の力積くらいしかアイデアが浮かばない、これは別解のアイデアになりそう)
書けませんから、α、β、γのすべてが0なら(1)は明らかと気づきました。
背理法で証明しましょう。
　否定して、少なくともα、β、γのいずれか1つが0でないとします。
　たとえばαが0でなければ、
　　　(1)は　↑c =- β/α ↑a + γ/β↑b = ↑0
　となり、↑cは ↑aと↑b で表せますから、1次従属です。つまり3つの零でないベクトルが同一平面上に載りますから　自動的に点Oもその平面に載って、同じ平面に4点が載ってしまいますから、仮定に反します。(逆もtryしてください。)

　つまりα、β、γがすべて0ですから、漢字とひらかなのみ用いるて答えると。
　みっつのべくとるは、互いに垂直です。(、。もひらがなとして入れていますから、減点でしょうか。 )

お礼

解答ありがとうございます

回答No.2

yyssaa

＞↑a・↑b≠0なら与式から
↑c={-(↑b・↑c)/(↑a・↑b)}↑a-{(↑c・↑a)/(↑a・↑b)}↑b
これはs、tを実数として↑c=s↑a-t↑bが成り立つことであり、
↑cが↑aと↑bの一次結合で表されているから、↑c、↑a、↑bは
同一平面上にあることになり、「O,A,B,Cは同じ平面上にない」に
反するということ。
別解は？

お礼

解答ありがとうございます

回答No.1

noname#200028

画像は文字が潰れてるし横倒しで読む気がしないので無視します。

右辺は０になってますけど↑０ですよね？

その式の左辺の係数の中に０でないものがもしあれば↑a 、↑b、↑c は一次従属になります。
つまり４点が同一平面上にあるってことです。
これは矛盾だから係数はどれも０でなければなりません。
これでほとんど終わり。

分数なんてでてきませんけど？

お礼

画像が見にくくてすいませんでした
解答ありがとうございます