ベクトルと平面図形の問題です

質問

平面上に4点O,A,B,C　がある。

OAベクトル+OBベクトル+OCベクトル=0ベクトル

OA=2, OB=1 OC=√2のとき、　三角形OABの面積を求めよです。

途中式を教えてください

お願いします

答えは　　4分の√7です

回答No.1

nattocurry · ベストアンサー

図を描いて考えると解りやすいんですが、

OA＋OB＋OC＝0なので、とりあえず、三辺が2、1、√2の三角形を描きます。長さはだいたいで構いません。
そして、長さが2の辺と1の辺が交わる角（点）をAとし、長さが2の辺と√2の辺が交わる角（点）をOとします。三角形の残りの角（点）を、とりあえずDとしておきます。

ADベクトルは、OBベクトルと等しいので、Oを起点として、ADベクトルと同じ向き、同じ大きさ（距離）のところがBです。
同様に、Oを起点として、DOベクトルと同じ向き、同じ大きさ（距離）のところがCです。

さて、△OABの面積ですが、よく見てみると、△OABと△OADは、OAを同一の底辺とし、高さも同じ三角形です。
よって、△OABと△OADの面積は同じです。

これは理解できますか？
これが理解できないなら、□OADBに注目しましょう。

OAベクトルとBDベクトルが同じで、OBベクトルとADベクトルが同じなので、□OADBは平行四辺形になります。
△OABは□OADBの半分です。△OADも□OADBの半分です。
よって、△OABと△OADの面積は同じです。

ということは、△OABの面積を求めるということは、△OADの面積を求めるということになり、三辺が2、1、√2の三角形の面積を求めるということになります。

求め方はいろいろありますが、ヘロンの公式を使うと、
面積=√{(2+1+√2)(-2+1+√2)(2-1+√2)(2+1-√2)}/4
=√{(3+√2)(-1+√2)(1+√2)(3-√2)}/4
=√{(3+√2)(3-√2)(√2-1)(√2+1)}/4
=√{(9-2)(2-1)}/4
=√(7*1)/4
=√7/4

余弦定理を使うと、△ABDにおいて
cosA={OA^2+AD^2-DO^2}/(2*OA*AD)
={2^2+1^2-(√2)^2}/(2*2*1)
=(4+1-2)/4
=3/4

(sinA)^2+(cosA)^2=1より
(sinA)^2=1-(3/4)^2=1-9/16=16/16-9/16=7/16
sinA=±√7/4
Aは三角形の角なので0°<A<180°より、sinA>0
sinA=√7/4

面積=OA*AD*sinA/2=2*1*√7/4/2=√7/4

お礼

ありがとうございました。！