平面ベクトル(内積を使う問題で)

質問

平面ベクトルでの質問があります。
ご教示戴ければ幸いです。

[問1]
(1) OA=2√2、OB=√3、(→OA)・(→OB)=2の時、△OABの垂心をHとする時、(→OH)を
(→OA)と(→OB)で表せ。

[答え](→OH)=1/10(→OA)+3/5(→OB)

Hが垂心⇔(→AH)・(→OB)=(→BH)・(→OA)=0…(1)
で
(→OH)=s(→OA)+t(→OB)と置く、、、、
まで分かったのですがどうやって
(→OH)を(→OA)、(→OB)の和で2通りに表せるのでしょうか?

(2)平面上にO、A、B、Cがある。(→OA)+(→OB)+(→OC)=(→0)
、OA=2、OB=1、OC=√2の時、△OABの面積を求めよ。

[答え] √7/4 ((→OA)・(→OB)=-3/2)

ヒントには"cos∠AOBを求めよ"とあるのですが、
どうすればcos∠AOBが求まるのでしょうか?

回答No.1

BO-BO-keshi · ベストアンサー

こんばんは！

(1)

「s、tを用いて(→OH)を２通りに表して、その係数比較からs、tの関係式を導く」という方針はベクトルではよく使われますが、この問題の場合はsとtの関係式が直接出るように思います。
(→AH)・(→OB)=(→BH)・(→OA)=0
から
(→AH)・(→OB)＝0
(→BH)・(→OA)＝0
なので、この左辺をsとtを用いて表してやることができます！あとは連立方程式を解けばいいだけです。

(2)

条件式
(→OA)＋(→OB)＋(→OC)＝(→0)
(→OC)を移項して両辺絶対値の２乗を考えて
|(→OA)＋(→OB)|^2＝|→OC|^2
が成立します。左辺は
|(→OA)|^2 ＋ 2・(→OA)・(→OB) ＋ |(→OB)|^2
と展開できますから
|→OA|＝2
|→OB|＝1
|→OC|＝√2
を代入してやることで
(→OA)・(→OB)
を求めることが出来ます。あとは内積の式
(→OA)・(→OB)=|→OA|・|→OB|・cos∠AOB
を用いてやれば、cos∠AOBを求めることができます！

お礼

ヒントを有難うございました。

お陰さまで上手くいきました。