ベクトルの問題

質問

問「鋭角三角形ABCの外心をOとするとき，

　　sin2A・OA＋sin2B・OB＋sin2C・OC＝0　

　　を証明せよ」

(注)OA、OB、OC　と右辺の0がベクトルなんですが、表記の仕方がわかりませんでした。わかりにくくてすみません。

苦戦してます。
わかる方おしえてください。

回答No.3

mis_take

一般に，三角形ＡＢＣの内部の点Ｐについて，
三角形ＰＢＣ，ＰＣＡ，ＰＡＢの面積をα，β，γとすると
ｐ＝(αａ＋βｂ＋γｃ)/(α＋β＋γ) …(1)
が成り立ちます（ｐ，ａ，ｂ，ｃは位置ベクトル）。

このことは
ＡＰの延長とＢＣの交点をＤとすると
ＢＤ：ＣＤ＝γ：β
ＡＤ：ＰＤ＝(α＋β＋γ)：α
ＡＤ：ＡＰ＝(α＋β＋γ)：(β＋γ)
から用意に導かれます。

(1)に分母をかけて整理すると
αＰＡ＋βＰＢ＋γＰＣ＝０

Ｐが外心の場合
α＝△ＰＢＣ＝２ＰＢ・ＰＣsin∠ＢＰＣ＝２ｒ^2sin２Ａ
等々
で問題の式になります。

なお内心は
ａＰＡ＋ｂＰＢ＋ｃＰＣ＝０
となります。
（ａ，ｂ，ｃは辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの長さ）

回答No.2

debut

COの延長とABの交点をD,AOの延長とBCの交点をEとすると、
AD:BD=sin2B:sin2A、BE:EC=sin2C:sin2Bが成り立ちます。
（例えば、直線COにA,Bから垂線を引けば三角形の相似で、
　しかもsin(180°-2A)=sin2Aなどからわかります）
OがCDをｍ：１－ｍに内分する、とおくと
AO↑=(1-m)AC↑+m{sin2B/(sin2A+sin2B)}AB↑・・・(1)
また、OA↑=kOE↑とすれば、
OA↑=k(sin2C*AC↑+sin2B*AB↑)/(sin2B+sin2C)・・・(2)
(1)(2)から
m=(sin2A+sin2B)/(sin2A+sin2B+sin2C)
1-m=sin2C/(sin2A+sin2B+sin2C)

OD↑=(sin2A*OA↑+sin2B*OB↑)/(sin2A+sin2B)であり、
OD↑=-(1-m)/mOC↑なので
(sin2A*OA↑+sin2B*OB↑)/(sin2A+sin2B)
　　＝(-sin2C*OC↑)/(sin2A+sin2B)
∴sin2A*OA↑+sin2B*OB↑+sin2C*OC↑=0↑

と、分点公式から考えてみましたが・・

回答No.1

guzuryu

簡単にするため、原点に外心O、点Aがx軸上になるように三角形を移動する。
点Bのy座標が正とする。（負の場合は鏡像変換する。）
外接円の半径をRとする。
円周角の定理より、角AOB＝2C，角AOC＝2Bである。
∴座標表示すると、以下の通り。
↑OA＝(R,0)
↑OB＝(Rcos2C,Rsin2C)
↑OC＝(Rcos2B,-Rsin2B)
（↑OAはベクトルOAを示すとする。以下同様。）

sin2A・↑OA＋sin2B・↑OB＋sin2C・↑OC＝↑ODとすると、

↑ODのx座標＝Rsin2A+Rsin2B・cos2C+Rsin2C・cos2B
ここで、2A+2B+2C=2πであるから、
Rsin2A＝Rsin(2π-2B-2C)＝-Rsin2B・cos2C-Rsin2C・cos2B
∴↑ODのx座標＝0

↑ODのy座標＝Rsin2B・sin2C-Rsin2C・sin2B＝0

↑ODのx座標，y座標ともに0なので↑OD＝↑0

お礼

回答ありがとうございます。

最終的な私の回答と解法が異なったので、とても参考になりました。

ありがとうございました。