閉区間で微分？

質問

閉区間［０，１］で関数ｆが微分可能という言い方をみたとき、どう解釈すべきですか？

（１）開区間（０，１）でｆは微分可能、０と１でどうなるかは不明
（２）正の数ａがあって開区間（－ａ、１＋ａ）でｆは微分可能
（３）開区間（０，１）でｆは微分可能、０でｆは右微分可能、１でｆは左微分可能

それぞれの解釈により生じる違いについてもお願いします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

（１）、（２）、（３）のどれも間違い。文字通り「閉区間 ［０，１］ で関数ｆが微分可能」という意味です。このような言い方をするとき、暗黙的に ［０，１］ を含む開区間で f が定義されていることが仮定されています。

お礼

素直に考えてすべてのｘ∈［０，１］についてｆがｘで微分可能ということですね。しっくりきました。後半も納得です。

ありがとうございました。

回答No.1

funoe

特別の文脈で用いられているのでないかぎり（３）でしょ。

関数の定義されている全体集合が［0,1］ということは、
「0以上１以下の実数」のことだけを考えればよく、それ以外の数を考える必要はないということ。
（０未満の実数や1を超える実数なんてのは、「(全体)世界のメンバーではない」ということ）

「０における左側微分」なんてのは世界の外のメンバーの協力がないと考えられない（定義できない）でしょ。

ある点x0での微分とは、その点に近づくxを考えたときの　lim｛f(x0)-f(x)｝/(x0-x)なんだから、
「世界の外からｘがｘ0に近づいたとき」のことなんて考えないでしょ。

虚数（複素数）を習ったかどうか知らないけど、虚数軸にそってｘ→０となるケースなんて考えないのと一緒。

補足

質問文ではｆの定義域について触れていません。たとえばｆがRez≧０という半平面で定義されていて［０，１］で微分可能という場合と、ｆが（－１，２）で定義されていて［０，１］で微分可能という場合、そしてｆが［０，１］で定義されていて［０，１］で微分可能という場合とでは同じですか？