閉区間での微分の証明問題

質問

閉区間での証明がわからなくて困ってます…
［－１／３，１／３］で
ｆ（ｘ）＝x^2 sin{(1/x)+3x)} (x≠0)
＝0(x=0)
がこの区間に微分可能で、f'(x)は有界だが、その区間でf'(x)が最大値、最小値をとらない
ということを示すのですが…
微分可能を示すのに、ｘ＝０の点だけで調べればいいのでしょうか？他にも何かしないといけないのでしょうか？
あとの問題についてもお願いしますm(__)m

回答No.1

jmh

> ｘ＝０の点だけ

そのように考える理由は何でしょうか。
例えば「除法は０以外で微分可能。積や和・sin は至るところで微分可能。微分可能の合成は微分可能。だから、残る怪しいところを、つまりｘ＝０を調べるだけでよい」だからですか？