微分の定義

質問

（問題）微分可能な関数ｆ（ｘ）がｆ‘（ｘ）＝｜（e^x）-1｜を満たし、ｆ（１）＝eのときｆ（ｘ）をもとめよ
（解答）ｘ＞０のとき、e^x-1>0より、ｆ（ｘ）＝e^x-1
x<0のときe^x-1＜0より、ｆ（ｘ）＝ーe^x+1
なぜ０をふくめて場合分けしないのでしょうか？
解答には、ｆ‘（ｘ）はｘを含む開区間で扱うからとあるのですが、よくわかりません。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

微分は、左極限(lim [x→a-0])と右極限(lim [x→a+0])の値が一致することが定義となっています。
なので、区間の端を含んでしまう(閉区間)と、その端では左右のいずれかしか存在しないため、微分が定義できなくなります。

回答No.2

info22_

>（解答）
>ｘ＞０のとき、e^x-1>0より、ｆ（ｘ）＝e^x-1

「f'(x)=e^x -1」の間違いでしょう。

>x<0のときe^x-1＜0より、ｆ（ｘ）＝ーe^x+1

「f'(x)=-e^x +1」の間違いでしょう。

>なぜ０をふくめて場合分けしないのでしょうか？
解答には、ｆ‘（ｘ）はｘを含む開区間で扱うからとあるのですが、よくわかりません。

微分係数（導関数）を論じる場合は、特別な点、つまり関数の不連続点や微分係数が存在しない点（n階微分可能でない点）は別扱いする必要性があるということでしょう。
今の場合は、x=0はf''(x)が存在しない特別な点にあたります。それでx=0を含まない開区間でf'(x)を扱っているのでしょう。言い換えればその点を境に関数が異なる場合はその点を含めない区間（開区間」）で微分係数（導関数）を取り扱うということでしょう。

f''(x)が存在しない点x=0をf'(x)(x>0),f'(x)(x<0)のどちらかに含めて考えてはいけないということですね。
>（問題）微分可能な関数ｆ（ｘ）
これは一回微分可能な関数で、x=0で２回微分可能ではありませんね。

x>0のときf(1)=eより　f(x)=e^x-x+1
f(x)は（一回）微分可能な関数ということなのでx=0で連続であるから
x<0のf(x)=x-e^x+c→c-1(x→0-)とx>0のf(x)=e^x-x+1→2(x→0+)が一致しなければならないので c-1=2 ∴c=3
このとき f(0-)=f(0+)=2=f(0)となって
f(x)はx=0で連続な関数となります。
　f(x)=e^x-x+1(x>0), f(x)=x-e^x+3(x<0), f(x)=2(x=0)
まとめる段階で、x=0で連続なので等号を(x>0)か(x<0)のどちらかに含ませてもいいでしょう。
　f(x)=e^x-x+1(x≧0), f(x)=x-e^x+3(x<0)