四の十八 研究 高校数学の数列です

質問

a[1]=2,b[1]=1の時

a[n+1]=2a[n]+5b[n]
b[n+1]=a[n]+2b[n]によって定まる分数a[n]/b[n]は√5の近似値であるとあるのですが

どうやって√5が近似値と分かるんですか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

a(n+1)=2a(n)+5b(n)

b(n+1)=a(n)+2b(n)

a(n+1)/b(n+1)=[2a(n)+5b(n)]/[a(n)+2b(n)]

=[2a(n)/b(n)+5]/[a(n)/b(n)+2]

c(n)=a(n)/b(n)とすると

c(n+1)=[2c(n)+5]/[c(n)+2] (1)

極限値αがあるとすると

lim(n→∞)C(n+1)=c(n)=α

(1)は

α=(2α+5)/(α+2)

α^2+2α=2α+5

α=√5　(数列はすべて≧0と考えられる。）

すなわちc(n)=a(n)/b(n)の収束値は√5であって、

これが「a[n]/b[n]は√5の近似値である」の意味である。

お礼

御返答有難うございます

補足

>a(n+1)/b(n+1)=[2a(n)+5b(n)]/[a(n)+2b(n)]

>=[2a(n)/b(n)+5]/[a(n)/b(n)+2]
1段目から2段目の式変形が分かりません

>im(n→∞)C(n+1)=c(n)=α
C[n+1]がαに収束してもc[n]も両方αになるかどうかは分からないのではないですか？

回答No.2

spring135

>a(n+1)/b(n+1)=[2a(n)+5b(n)]/[a(n)+2b(n)]

>=[2a(n)/b(n)+5]/[a(n)/b(n)+2]
1段目から2段目の式変形が分かりません

→分子分母をb(n)で割ってます。

>im(n→∞)C(n+1)=c(n)=α
C[n+1]がαに収束してもc[n]も両方αになるかどうかは分からないのではないですか？

収束を前提しているのであって収束する以上

C[n+1]がαに収束してもc[n]も両方αになるかどうかは分からない

というのは自己矛盾です。

お礼

御返答有難うございます