四の二十 高校数学の数列です
{a[n]}は初項A,公比αの等比数列で{b[n]}は初項B、公比βの等比数列でα>βとする
x[n]=a[n]+b[n](n=1,2,...)によって定められる数列{x[n]}の始めの4項の値はx[1]=0,x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5である
(1)α、βを解とする2次方程式でx^2の係数が1であるものをもとめよ、A,Bも求めよ
(2)x[n+2]=2x[n+1]+x[n](n=1,2,3,...)が成り立つことを証明せよ
(3)任意のnに対してa[n]に最も近い整数はx[n]に等しいことを証明せよ
x[n]=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1)
=A(α^(n-1)-β^(n-1))
であり、x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5であるから、α^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β)
よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1
よって求める方程式はx^2-2x-1=0(1) またA=1/(α-β)=1/2√2,B=-A=-1/2√2
(2)α、βは(1)をみたすからn>=1のときx[n+2]=Aα^(n+1)+Bβ^(n+1)
=A(2α+1)α^(n-1)+B(2β+1)β^(n-1)
=2(Aα^n+Bβ^n)+(Aα^(n-1)+Bβ^(n-1)
よってx[n+2]=2x[n+1]+x[n]が成り立つ
(3)(2)によりx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいが
|x[n]-a[n]|=|b[n]=|Bβ^(n-1)|(2)であり、|B|<0.5,|β|=|1-√2|<0.5であるから(2)は0.5より小さい
とあるのですが、まず(1)でα^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β)
よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません
(2)は分かりました(3)はx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所で
x[n]は整数が何故分かるのか？と、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所が何故それを示せば良いことになるのか分かりません 後は|β|=|1-√2|<0.5の|β|=|1-√2|の所がどこから出てきたのか分かりません
まんまで引用できてませんが、宜しくお願いします、ていうか引用とかでどうやって説明すればよいのか分かりません、不可能です、値を変えるとか文字を変える位なら出きますが、それじゃだめなんですよね？
お礼
御返答有難うございます
補足
解決しました