高校数学 数列

質問

次の3条件(i),(ii),(iii)を満たすような数列{a(n)}を考える。
(i) a(1)=1/2
(ii) a(2n+1)=a(2n)+1/2(2n-1)n(2n+1) (n=1,2,3…)
(iii) Σ[k=1～2n] a(k)*(-1)^(k-1)=Σ[l=1～n] 1/(n+l) (n=1,2,3…)
この数列の第2n+1項a(2n+1)を求めよ。

(iii)より 
Σ[k=1～2n] a(k)*(-1)^(k-1)=Σ[l=1～n] 1/(n+l) ー(1)
Σ[k=1～2n+2] a(k)*(-1)^(k-1)=Σ[l=1～n+1] 1/(n+l) ー(2)
(2)-(1)より、
a(2n+1)*(-1)^(2n)+a(2n+2)*(-1)^(2n+1)=1/2n-1/(2n+1)
⇔a(2n)=a(2n-1)-1/2n(2n-1)
したがって、(ii)より、
a(2n+1)=a(2n)+1/2(2n-1)n(2n+1) 
=a(2n-1)-1/2n(2n-1)+1/2(2n-1)n(2n+1) 
=1/2(2n-1)n(2n+1)-1/2n(2n-1)+…+a(2)-a(1)
=Σ[k=1～n] 1/2(2n-1)n(2n+1)-Σ[k=1～n] 1/2n(2n-1)
=-Σ[k=1～n] 1/(2n-1)(2n+1)
=(-1/2)Σ[k=1～n] {1/(2n-1)-1/(2n+1)}
=(-1/2){1-1/(2n+1)}
=-n/(2n+1)ー(答)

添削お願いします。

回答No.1

alice_44

(iii)より
Σ[k=1～2n] a(k)*(-1)^(k-1) = Σ[l=1～n] 1/(n+l) ー(1)
Σ[k=1～2n+2] a(k)*(-1)^(k-1) = Σ[l=1～n+1] 1/(n+1+l) ー(2')
(2')-(1)より、
a(2n+1)*(-1)^(2n) + a(2n+2)*(-1)^(2n+1) = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(2n)
⇔　a(2n+2) = a(2n+1) - 1/(2n+2) - 1/(2n+1) + 1/(2n)　{n≧1で成立}
⇔　a(2n) = a(2n-1) - 1/(2n) - 1/(2n-1) + 1/(2n-2)　{n≧2で成立}.

計算違いの他に…
添字をズラしたとき成立範囲が n≧2 になっているので、
(ii) と併せるとき a(3) は別扱いしないといけない。