高校数学、数列

質問

（問題）
a1=1／２、｛an／a(n-1)｝+｛2／ｎ＋１｝＝１(ｎはn≧２である整数）が成り立つ時、anを求めよ。

（解答）
an／a(n-1）＝（ｎ－１）／（ｎ＋１）
⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝a(n-2)(n≧３）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝｛(n-３）／（ｎ－１）｝×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／｛ｎ（ｎ＋１）｝（ｎ≧２）
この式はｎ＝１の時も成り立つ。
（疑問）

an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝a(n-2)(n≧３）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝｛(n-３）／（ｎ－１）｝×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／｛ｎ（ｎ＋１）｝（ｎ≧２）
の部分についてですが、
an=（ｎ－１）／（ｎ＋１）a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝a(n-2)(n≧３）⇔、、、とやってゆくとｎ≧□の部分が１ずつ大きくなっていくはずなのに、最後の結論ではan=1／｛ｎ（ｎ＋１）｝（ｎ≧２）とｎ≧２なのはなぜですか？

回答No.2

Tacosan

これはその「解答」の書き方がおかしい.

はっきりいえば
an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝a(n-2)(n≧３）
が変で, 左から右に行く時点で n=2 が抜け落ちてしまう.

ついでにいえばこれ全体を「完全な解」として認めるかどうかも議論の余地がある. 厳密に言えば
an=1／｛ｎ（ｎ＋１）｝（ｎ≧２）
を出した後 (あるいは「この式はｎ＝１の時も成り立つ。」の後) で改めて帰納法を回すべき.

回答No.1

spring135

n≧２というのは第2項より先の項について条件り立つといっているのであって、

＞ｎ≧□の部分が１ずつ大きくなっていくはずなのに

は誤解です。

お礼

一日考えて、自分で一番納得がいった理由があるのですが、それは正しいのか教えてください。（補足部分は使ってしまったので、ここに記述することをお許しください。）
計算過程の、
a(n)={(n-1)/(n+1)}a(n-1)(n≧２）や{(n-1)/(n+1)}{(n-2)/n}a(n-2)(n≧３）にはa(n-1)やa(n-2）によって自然数とするためにn≧２、ｎ≧３の条件がついている。
最後の｛(n-1)/(n+1)}{(n-1)/n}{(n-2)/(n-1)}×、、、×3/5×2/4×1/3a(1)（ｎ≧２）は最初のa(n)の定義されている範囲のみ考えればよいからｎ≧２と考えるのは安直でしょうか?

補足

an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝a(n-1)（★ｎ≧２）
⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝a(n-2)(★n≧３）このような変形を繰り返して、

⇔an=｛（ｎ－１）／（ｎ＋１）｝｛（ｎ－２）／ｎ｝｛(n-３）／（ｎ－１）｝×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／｛ｎ（ｎ＋１）｝（☆ｎ≧２）この形にたどりつくのですよね?
★のように、漸化式が成り立つ条件について、ｎ≧○が１つずつ大きくなってゆくのに、なぜ最後の部分（☆）の部分ではｎ≧２という条件になっているのか？というのが疑問なのです。
教えてください。