四-拾七 研究 高校数学の数列の問題です

質問

a[1],a[2],a[3],...a[n]の最大値をM,最小値をmとし、(M+m)/2=bとおくと
|a[i]-b|<=(M-m)/2が成り立つ(数直線で明らか)とあるのですが、これが何で成り立つのか分かりません

数直線で具体的にa[1],a[2],a[3],...a[n]をそれぞれ1~8として、このときM=8,m=1ですから

(M-m)/2=3.5です、(M+m)/2=b=4.5ですから|a[i]-b|のiに1～8まで入れてみると

|1-4.5|=3.5 ,|2-4.5|=2.5,|3-4.5|=1.5,|4-4.5|=0.5,|5-4.5|=0.5,|6-4.5|=1.5

|7-4.5|=2.5,|8-4.5|=3.5となりいずれも(M-m)/2=3.5より小さいか等しいと分かりますが

これが全ての場合に当てはまるかどうかはどうして簡単に分かるのですか？数直線で分かるというのが分かりません

回答No.7

noname#212313 · ベストアンサー

#6です。

>(M-m)/2は中点から端までの長さですよね、

　そうです、a[i]の値域の『長さ』の半分ですから、中点から端までですね。

>|a[i]-(M+m)/2|は中点とa[i]の各点との距離ですからa[i]が端以外は(M-m)/2の方が大きくなりますね、

　その通りです。

>この理解で正しいですか？

　正しいですよ、設問と解法を理解されたようですね。もしかすると、「論理としては正しそうだが、何か腑に落ちない、全体を通して分かった感じがしない」とお感じかもしれません。もしそうでも、気にすることはありません。学んだことが正しいとはすぐに分かっても、納得できるには時間がかかることが多いですから。逆にいえば、分からないことが一目見て分かる説明があれば、どこかおかしいかもしれないと用心したほうがいいくらいです。

　途中、ちょっと脱線気味になったような気もしますので、もう一度、別の説明の仕方で整理してみます。

１．設問が言うa[i]の状況

　数直線上に、a[1]～a[n]のn個の点があります。どんな数値なのか、正負すら分かりませんが、最大値はM、最小値はmだとします。Mもmも、やはり具体的にはさっぱり分かりません。

２．(M+m)/2は何か

　(M+m)/2は、a[i]の最大値と最小値を選び、足して2で割っているのですから、その値（二つの値の平均値と考えてもいい、ただしa[i]全体の平均値ではない）は、a[i]の値域（数直線上でa[i]の存在する範囲）の真ん中の値になります。この値がいくらなのかは、やはりさっぱり分かりません。

３．a[i]-(M+m)/2は何か

　各a[i]から(M+m)/2を引けば、その分だけ0（数直線の原点）に近づいた値になります。そして、数直線上の(M+m)/2はa[i]の値域の真ん中の値なのでした。ということは、引いた各々の値は数直線の0のほうへずれる、つまり数直線の0を中心とした値域に変換したということになります。

　こうしてやると、数直線上のどこにあるか分からなかったa[i]が数直線の0の周りに引き寄せられたことになります。最大値と最小値さえ分かっていれば、そんなことができるわけです。

４．(M-m)/2は何か

　M-mは、最大値から最小値を引いたものですから、数直線上のa[i]の値域の長さになります。M, mの正負に関わらず、大きい数から小さい数を引けば必ず正の値になります。だから、普通の意味の長さ（正の値の長さ）になります。

５．絶対値にした|a[i]-(M+m)/2|は何か

　３でa[i]を操作した結果を考えてみると、数直線の0の左（マイナス側）と右（プラス側）のどちらにも、同じ長さでa[i]が散らばっているという状態にしています。左右の長さが等しいわけですね。

　絶対値ですから0以上です。そして、a[i]-(M+m)/2は0を中心として左右の長さが等しく散らばっているのですから、0以上だけにした|a[i]-(M+m)/2|は半分の長さの間に散らばることになります。

６．(M-m)/2と|a[i]-(M+m)/2|の関係

　(M-m)/2はa[i]の値域の数直線上の長さの半分なのでした。そして、|a[i]-(M+m)/2|は数直線の0以上に、a[i]の値域の半分の長さで散らばっているのでした。そうなると、どんな|a[i]-(M+m)/2|も、数直線で0～(M-m)/2（端を含む）に収まっていることになります。だから「0≦|a[i]-(M+m)/2|≦(M-m)/2」という不等式で表せます。

　以上が、お示しの問題と解答（の一部）が言っていることを、先の回答とは別の言い方で整理してみたものです。ちょっとこれ以上は私では説明できません。

お礼

御返答有難うございます、他にも質問しているものはありますので、宜しければそちらも是非宜しくお願いします

補足

有難うございます、分かりやすかったです、これでちゃんと理解することができたと思います

回答No.6

noname#212313

#3です。

>a[i]を範囲のことだと仰っていたので、具体例の場合1から8なので範囲が8なので8とお答えしました

　a[i]が範囲だなどと言っていませんが？以下のように言ったのです。

#2>a[i]はm～Mの間に散らばって存在していて、(M+m)/2=bはちょうどその真ん中になります。

　そういう状況の問題を示されたのですが。a[i]が最小値m、最大値Mの間で散らばっているのではないのですか？　もしそうなら、早めに仰ってください。あさっての方向の話になってしまっていますから。

>>4が真ん中と仰る理由が分かりません。値域の長さの真ん中（半分）だと3.5ですし。どういうことですか？
>8の半分が4だから4と思いました、範囲が8ですからその半分は4と思いました

　質問者様が設定した例は1～8なんですよね？　範囲が8などではないですよね。8-1＝7を否定しないですよね？　そういうことをお聞きしたのです。どうなのですか？

>>長さの半分というのは数直線上の位置とは無関係なことにご注意ください。
>長さの半分は1から8の半分だったら3.5ですよね、値域の半分と値が違うのは何故ですか？

　長さの半分が3.5と書きましたよね？　以下の通りに。

#2>1と8の間の長さは8-1＝7ですよね。その半分の長さは3.5。

　こう書いたのに3.5ですかと聞かれても困りますよ。で、その3.5の長さが数直線上で4.5ですよね。1から始まっている値域なんだから。上に再掲したのに続けて、こう書きましたよね。

#2>1から始まっているんですから、1ずらすと、3.5＋1＝4.5。それが数直線上での真ん中を表す数です。

　書いてありますよね（必ずご確認ください）。値域を長さと見てその半分が3.5、それが数直線上では1から始まるんだから3.5+1＝4.5。そういう説明をしたわけなんですけど、異なるものが違うのは当たり前ではないでしょうか。違う理由を聞かれても答えようがありません。

　例えば「数直線上で1から増える方向に3進むと4」だと言ったとして（※設問とは関係なく、説明のために出した喩えであることに注意）、「3と4と値が違うのはなぜか？」と聞かれても答えようがないですよね。先ほどから、それに類することを聞いておられるわけですが、どういうことですか？

　理解するための図も描いたんですが、そちらは全く聞いてきてませんよね。質問された問題と関係ないことばかりです。字面だけ追って、適当に分からないと言われているような気がします。非常に困ります。解きたい問題を解きましょうよ。次に無関係なことをお聞きであれば、問題を解く意思がそもそもなかったのだと判断して、回答は中止致します。

お礼

御返答有難うございます

補足

>a[i]が最小値m、最大値Mの間で散らばっているのではないのですか？
はい、その通りです

>質問者様が設定した例は1～8なんですよね？　範囲が8などではないですよね。8-1＝7を否>定しないですよね？　そういうことをお聞きしたのです。どうなのですか？
はい、範囲は7ですね、こちらの間違いです

>上に再掲したのに続けて、こう書きましたよね。
すいません、理解できました

>異なるものが違うのは当たり前ではないでしょうか。違う理由を聞かれても答えようがあ>りません。

長さと数直線上での値を同じにしていました

>どういうことですか？
その辺の数の数えかたが怪しかったので、このような事も聞いてしまいました

>理解するための図も描いたんですが、そちらは全く聞いてきてませんよね
図は分かりやすかったです、有難うございます、値域が何かも図を見て分かりましたし、図が無かったらもっとチンプンカンプンでした

>適当に分からないと言われているような気がします。非常に困ります。解きたい問題を解>きましょうよ

はい、そういう基礎的な部分があやふやなので、聞いてしまいました、(M-m)/2は中点から端までの長さですよね、|a[i]-(M+m)/2|は中点とa[i]の各点との距離ですからa[i]が端以外は(M-m)/2の方が大きくなりますね、この理解で正しいですか？

回答No.5

Tacosan

はい

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4

お礼

御返答有難うございます

補足

貴方の方法は式を変形して成立を示すと思うんですが、数直線で納得出来る方法を知りたいです

回答No.4

Tacosan

|x| ≦ a iff -a ≦ x ≦ a
だから明らかでしょ?

お礼

御返答有難うございます

補足

iffって何ですか？

回答No.3

noname#212313

#2です。

>値域というのはy座標の事かと思っていたのですが、座標上での値の事を言うんですか？

　私はそう言っていますが、流儀が違う人もいるでしょうね。

>a[i]の値域というのは具体例の場合1<=a[i]<=8という事ですよねa[i]-(M+m)/2はa[i]を1から8までの範囲として考えるのですか？

　そうです。

>つまりa[i]は具体例の場合8という意味ですか？

　具体例では1～8となっているのですが、なぜ8だけにするのか分かりません。どういうことですか？

>(M+m)/2が真ん中とありますが具体例の場合4.5となってしまいます、しかし1から8の真ん中は4ですよね　0を中心とする値域に移すという表現も良く分かりません

　4.5が真ん中ですが？　1と8の間の長さは8-1＝7ですよね。その半分の長さは3.5。1から始まっているんですから、1ずらすと、3.5＋1＝4.5。それが数直線上での真ん中を表す数です。

　4が真ん中と仰る理由が分かりません。値域の長さの真ん中（半分）だと3.5ですし。どういうことですか？

>M-mは、a[i]のうち、最大と最小の差ですから、a[i]の値域の長さを正の値で表していま>す。
>この表現は分かりやすかったのですが、では真ん中は(M+m)/2ではなくて(M-m)/2のほうではないですか？

　数直線で言えば、(M+m)/2は値域の真ん中の数直線上の位置、(M-m)/2はa[i]の散らばっている値域だけを見たときの真ん中（長さの半分）です。数直線上の位置は数直線が示す数であり、長さの半分というのは数直線上の位置とは無関係なことにご注意ください。

お礼

御返答有難うございます

補足

>具体例では1～8となっているのですが、なぜ8だけにするのか分かりません。どういうこと>ですか？
a[i]を範囲のことだと仰っていたので、具体例の場合1から8なので範囲が8なので8とお答えしました

>4が真ん中と仰る理由が分かりません。値域の長さの真ん中（半分）だと3.5ですし。どう>いうことですか？
8の半分が4だから4と思いました、範囲が8ですからその半分は4と思いました

>長さの半分というのは数直線上の位置とは無関係なことにご注意ください。
長さの半分は1から8の半分だったら3.5ですよね、値域の半分と値が違うのは何故ですか？

回答No.2

noname#212313

数直線の得意な人は数直線で分かるかもしれません。私は苦手なので代数的にやってみます。

　a[i]はm～Mの間に散らばって存在していて、(M+m)/2=bはちょうどその真ん中になります。

　a[i]-b=a[i]-(M+m)/2は、散らばって存在するa[i]の値域を、0を中心とする値域に移します。|a[i]-b|と絶対値を取ると、正の部分にだけ限定することになります。それは、a[i]の値域の長さの半分です。

　M-mは、a[i]のうち、最大と最小の差ですから、a[i]の値域の長さを正の値で表しています。(M+m)/2だとその半分です。先ほど考えた|a[i]-b|も、同じ値域に散らばって存在しているのでした。

　と、ここまで考えて、値域を長さのように扱ったことから、数直線に向きそうです。数直線で表してみると添付図のようになります。確かに、その範囲に収まるようです（でも、明らかと頭ごなしに言われても分からないなあ、というのが実感）。

P.S.

　|M-(M+m)/2|=(M-m)/2であることを考えると（※これはM＞mより、M, mの正負に関わらず正の値になる）、Mはa[i]の最大値ですから、|a[i]-b|=|a[i]-(M+m)/2|が(M-m)/2以下になりそうだと考えて、正負に注意して調べてもいいかもしれません。

お礼

御返答有難うございます

補足

＞a[i]-b=a[i]-(M+m)/2は、散らばって存在するa[i]の値域を、0を中心とする値域に移ま＞す

値域というのはy座標の事かと思っていたのですが、座標上での値の事を言うんですか？

a[i]の値域というのは具体例の場合1<=a[i]<=8という事ですよねa[i]-(M+m)/2

はa[i]を1から8までの範囲として考えるのですか？つまりa[i]は具体例の場合8という意味ですか？(M+m)/2が真ん中とありますが具体例の場合4.5となってしまいます、しかし

1から8の真ん中は4ですよね　0を中心とする値域に移すという表現も良く分かりません

>M-mは、a[i]のうち、最大と最小の差ですから、a[i]の値域の長さを正の値で表していま>す。
この表現は分かりやすかったのですが、では真ん中は(M+m)/2ではなくて(M-m)/2のほうではないですか？

回答No.1

f272

|a[i]-b|は真ん中の位置から個々の点までの距離
(M-m)/2は真ん中の位置から端の点までの距離

お礼

御返答有難うございます

補足

>|a[i]-b|は真ん中の位置から個々の点までの距離
真ん中というのはbの事ですね、最大値と最小値の和を2で割ったら真ん中になるんですか？

>(M-m)/2は真ん中の位置から端の点までの距離
(M-m)/2が何で真ん中の位置から端の点までの距離になるんですか？