4-18 研究 高校数学の漸化式

質問

a[1]=2,b[1]=1の時

a[n+1]=2a[n]+5b[n]
b[n+1]=a[n]+2b[n]によって定まる分数a[n]/b[n]は√5の近似値であることを示せ

回答
a[n+1]=2a[n]+5b[n]
b[n+1]=a[n]+2b[n]という条件から

2a(n+1)-5b(n+1)=4an-5an=-an
5b(n+1)=2a(n+1)+an

a[n+2]=2a[n+1]+5b[n+1]=2a(n+1)+2a(n+1)+an
a(n+2)=4a(n+1)+an

λ^2-4λ-1=0 →λ=2-√5, 2+√5 →α=2-√5, β=2+√5

a(n+2)-αa(n+1)=β{a(n+1)-αa(n)}(1)
a(n+2)-βa(n+1)=α{a(n+1)-βa(n)}(2)

ふたたび
a[n+1]=2a[n]+5b[n]と
b[n+1]=a[n]+2b[n]という条件から得られる
a[n+2]=2a[n+1]+5b[n+1]
を(1)(2)に代入して

2a[n+1]+5b[n+1]-αa(n+1)=β{2a[n]+5b[n]-αa(n)}(1)'
2a[n+1]+5b[n+1]-βa(n+1)=α{2a[n]+5b[n]-βa(n)}(2)'

α=2-√5, β=2+√5を代入して
2a[n+1]+5b[n+1]-(2-√5)a(n+1)=β{2a[n]+5b[n]-(2-√5)a(n)}・・・(1)''
2a[n+1]+5b[n+1]-(2+√5)a(n+1)=α{2a[n]+5b[n]-(2+√5)a(n)}・・・(2)''

(1)''⇔√5a(n+1)+5b[n+1]=β{√5a[n]+5b[n]}・・・(1)'''
(2)''⇔√5a(n+1)-5b[n+1]=α{√5a[n]-5b[n]}・・・(2)'''

これはともに等比数列の漸化式　わかりにくければ置き換えて
c[n]=√5a[n]+5b[n]=√5(a[n]+√5b[n])
d[n]=√5a[n]-5b[n]=√5(a[n]-√5b[n])とおいて

(1)'''⇔c(n+1)=βcn・・・(1)''''
(2)'''⇔d(n+1)=αdn・・・(2)''''
[これはともに等比数列の漸化式］

(1)'''',(2)''''をβ^(n+1),α^(n+1)でわれば
c(n+1)/β^(n+1)=c(n)/β^n=....=c[1]/β={√5a[1]+5b[1]}/β=(2√5+5)/β
=√5(2+√5)/β=√5
d(n+1)/α^(n+1)=d(n)/α^n=....=d[1]/α={√5a[1]-5b[1]}/α=(2√5-5)/α
=√5(2-√5)/α=√5

とあったのですが、c(n)/β^n=....=c[1]/βですが何故これらが等しいのですか？

後最後のd(n+1)/α^(n+1)=d(n)/α^n=....=d[1]/α={√5a[1]-5b[1]}/α=(2√5-5)/α
=√5(2-√5)/α=√5

ここからどうやってa[n]/b[n]は√5の近似値であることを示せるのですか？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

c[n] = (√5)(a[n] + (√5)b[n])
　　d[n] = (√5)(a[n] - (√5)b[n])
と定義する。c[n]＞0なのはa[n]＞0, b[n]＞0から明らか。
　これを連立一次方程式だと思ってa[n], b[n]について解き、ちょっといじくると
　　a[n]/b[n] = (√5) (1 + d[n]/c[n])/(1 - d[n]/c[n])　…★
が得られる。つまり問題は「n→∞のとき★の右辺はどうなる？」という話。
　その話はさておき、 c[n]は公比βの等比数列、d[n] は公比αの等比数列になってる。というのが(1)''', (2)'''までの所。だから
　　c[n+1] = (β^n) c[1]
　　d[n+1] = (α^n) d[1]
です。
　ってことは
　　d[n]/c[n] =((α/β)^(n-1)) (d[1]/c[1])
である。そして 0＜(α/β)＜1 である。だから数列 d[n]/c[n] の絶対値は単調減少だし、そればかりかn→∞とすると0に収束する。
　これを使って（話を戻して）★の右辺がn→∞でどうなるかをやれば完了。
　ご自分で出来るしょ。

　ところで（ここから先はどうでもいいし、妙にこんぐらがった書き方をしてあるんですが、）要するに値が既知であるa[1], b[1]を使ってc[1], d[1]を計算すると、
　　c[1] = β
　　d[1] = α
である。というのが「とあったのですが」までの部分で、だから
　　d[n]/c[n] =(α/β)^n
である。これを使うと、★の右辺がもうちょっと簡単に書けますね。

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます