高校数学、数列

質問

（問題）
a1=1／２、｛an／a(n-1)｝+｛2／ｎ＋１｝＝１(ｎはn≧２である整数）が成り立つ時、anを求めよ。

（解答）
an／a(n-1）＝ｎ－１／ｎ＋１
⇔an=ｎ－１／ｎ＋１a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）a(n-2)(n≧３）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）(n-３／ｎ－１）×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／ｎ（ｎ＋１）（ｎ≧２）
この式はｎ＝１の時も成り立つ。
（疑問）

an=ｎ－１／ｎ＋１a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）a(n-2)(n≧３）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）(n-３／ｎ－１）×、、、×３／５×２／４×１／３a1⇔an=1／ｎ（ｎ＋１）（ｎ≧２）の部分についてですが、
(1)an=ｎ－１／ｎ＋１a(n-1)（ｎ≧２）⇔an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）a(n-2)(n≧３）⇔、、、とやってゆくとｎ≧□の部分が１ずつ大きくなっていくはずなのに、最後の結論ではan=1／ｎ（ｎ＋１）（ｎ≧２）とｎ≧２なのはなぜですか？
(2)an=（ｎ－１／ｎ＋１）（ｎ－２／ｎ）(n-３／ｎ－１）×、、、×３／５×２／４×１／３a1と最後の行き着く先がa１というのはどのように考えているのでしょうか?

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

いい加減、分母・分子にきちんと括弧をつけてほしい・・・

a[n]/a[n-1]= (n-1)/(n+1)より
a[n-1]/a[n-2]= (n-2)/n
a[n-2]/a[n-3]= (n-3)/(n-1)
a[n-3]/a[n-4]= (n-4)/(n-2)
・・・
a[4]/a[3]= 3/5
a[3]/a[2]= 2/4
a[2]/a[1]= 1/3

それぞれ両辺を掛け合わせていることと同じ。

「n≧ 2」とあるのは、a[n]/a[n-1]= ・・・の漸化式で
n=1のときは分母がa[0]となって表すことができないから。

お礼

読みずらくて申し訳ございません。ありがとうございました。