四の二十 高校数学の数列です

質問

{a[n]}は初項A,公比αの等比数列で{b[n]}は初項B、公比βの等比数列でα>βとする

x[n]=a[n]+b[n](n=1,2,...)によって定められる数列{x[n]}の始めの4項の値はx[1]=0,x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5である

(1)α、βを解とする2次方程式でx^2の係数が1であるものをもとめよ、A,Bも求めよ

(2)x[n+2]=2x[n+1]+x[n](n=1,2,3,...)が成り立つことを証明せよ

(3)任意のnに対してa[n]に最も近い整数はx[n]に等しいことを証明せよ

x[n]=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1)

=A(α^(n-1)-β^(n-1))
であり、x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5であるから、α^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β)

よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1

よって求める方程式はx^2-2x-1=0(1)　またA=1/(α-β)=1/2√2,B=-A=-1/2√2

(2)α、βは(1)をみたすからn>=1のときx[n+2]=Aα^(n+1)+Bβ^(n+1)

=A(2α+1)α^(n-1)+B(2β+1)β^(n-1)

=2(Aα^n+Bβ^n)+(Aα^(n-1)+Bβ^(n-1)

よってx[n+2]=2x[n+1]+x[n]が成り立つ

(3)(2)によりx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいが
|x[n]-a[n]|=|b[n]=|Bβ^(n-1)|(2)であり、|B|<0.5,|β|=|1-√2|<0.5であるから(2)は0.5より小さい

とあるのですが、まず(1)でα^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β)

よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません

(2)は分かりました(3)はx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所で

x[n]は整数が何故分かるのか？と、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所が何故それを示せば良いことになるのか分かりません　後は|β|=|1-√2|<0.5の|β|=|1-√2|の所がどこから出てきたのか分かりません

まんまで引用できてませんが、宜しくお願いします、ていうか引用とかでどうやって説明すればよいのか分かりません、不可能です、値を変えるとか文字を変える位なら出きますが、それじゃだめなんですよね？

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

まず(1)でα^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β)

よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません

＞
x[1]=A+B=0→B=-A
x[2]=Aα+Bβ=1→Aα-Aβ=1→(α-β)=1/A
x[3]=Aα^2+Bβ^2=2→Aα^2-Aβ^2=2→(α^2-β^2)=2/A
(α^2-β^2)=(α-β)(α+β)=(1/A)(α+β)=2/A→(α+β)=2
x[4]=Aα^3+Bβ^3=5→Aα^3-Aβ^3=5→(α^3-β^3)=5/A、
(α^3-β^3)=(α-β)(α^2+αβ+β^2)=(1/A)(α^2+αβ+β^2)=5/A
→α^2+αβ+β^2=5
αβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1

(2)は分かりました(3)はx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所で

x[n]は整数が何故分かるのか？と、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所が何故それを示せば良いことになるのか分かりません　後は|β|=|1-√2|<0.5の|β|=|1-√2|の所がどこから出てきたのか分かりません

まんまで引用できてませんが、宜しくお願いします、ていうか引用とかでどうやって説明すればよいのか分かりません、不可能です、値を変えるとか文字を変える位なら出きますが、それじゃだめなんですよね？

＞x[1]=0,x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5だからx[n+2]=2x[n+1]+x[n]が成り立てば
例えば
x[5]=2x[4]+x[3]=2*5+2=12
x[6]=2x[5]+x[4]=2*12+5=29
x[7]=2x[6]+x[5]=2*29+12=70
・・・・・・・・・・・・・・・だから
x[n]は整数である。
|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよい？
＞整数の間隔は全て1だからに尽きるが、敢えて説明するなら、
|x[n]-a[n]|＜0.5すなわち-0.5＜x[n]-a[n]＜0.5であれば、
x[n]の隣の整数(x[n]±1)とa[n]との差は、
0.5＜(x[n]+1)-a[n]＜1.5
-1.5＜(x[n]-1)-a[n]＜-0.5となり、いずれもx[n]よりa[n]から
離れた整数になる。
＞α+β=2、α-β=1/A=4/√2=2√2を連立で解けば
α=1+√2、β=1-√2

お礼

御返答有難うございます

補足

御返答有難うございます、他の部分は素晴らしく分かりやすかったのですが、以下の部分だけ分かりませんでした

>x[n]-a[n]|＜0.5すなわち-0.5＜x[n]-a[n]＜0.5であれば、
>x[n]の隣の整数(x[n]±1)とa[n]との差は、
>0.5＜(x[n]+1)-a[n]＜1.5
>-1.5＜(x[n]-1)-a[n]＜-0.5となり、いずれもx[n]よりa[n]から
>離れた整数になる。
0.5を持ち出すのは何故なのですか？整数の間隔が1なので間隔が1より小さ苦なる必要があるのは分かるんですが、0.5というのが分かりません0.5＜(x[n]+1)-a[n]＜1.5
-1.5＜(x[n]-1)-a[n]＜-0.5となり、いずれもx[n]よりa[n]から
離れた整数になる。の所も何故そのように言えるのか分かりません

回答No.4

yyssaa

0.5を持ち出すのは何故なのですか？
＞添付図参照

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、これで分かりました、他にも質問しているものがありますので、気が向いたら是非宜しくお願いします

回答No.2

Tacosan

(1) が分からない状態で, どうやって (2) が分かったんだろう. 謎だ.

で「x[n]は整数」は (2) からわかるし「|β|=|1-√2|」は β=1-√2 から出てくるね. 「|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよい」は「ある整数とその隣の整数とは必ず 1 だけ異なる」ことが理解できるかどうかの勝負.

お礼

御返答有難うございます

補足

>(1) が分からない状態で, どうやって (2) が分かったんだろう. 謎だ.
(1)の結果を使って理解することできたという意味です

>「x[n]は整数」は (2) からわかるし
何故(2)から整数だと分かるんですか？

>「|β|=|1-√2|」は β=1-√2 から出てくるね
β=1-√2 なんてどこに書いてあるんですか？

> 「|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよい」は「ある整数とその隣の整数とは必>ず 1 だけ異なる」ことが理解できる
ある整数とその隣の整数とは必ず 1 だけ異なることは分かりますが、何故0.5より小さいことなのですか？1より小さいだけなので、0.7とか0.8とかも有りなんじゃないんですか？

回答No.1

asuncion

＞よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 より
＞αβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません

α+β=2
(α+β)^2 = α^2 + 2αβ+β^2 = 4 ... (1)
一方、α^2+αβ+β^2 = 5 ... (2)
(1)-(2)より、αβ = -1

お礼

御返答有難うございます

補足

他の部分も宜しくお願いします