数学Ｂ:数列 大阪市大文系数学第一問です。。

質問

数学の問題です！m(_ _)m

問題：(http://imepita.jp/20101129/601260)
正の実数からなる2つの数列{a_n}と{b_n}はn≧3について、

a_n=a_(n-1)+a_(n-2)/2、b_n=√b_(n-1)b_(n-2)
を満たすものとする。
(1){a_n}の階差数列を{c_n}とすると、{c_n}は等比数列になることを示し、その公比を求めよ。
(2)n≧3についてa_nをa_1、a_2、nを用いて表せ。
(3)b_1=1、b_2=2のとき、n≧3についてlog2(b_n)をnを用いて表せ。

大阪市大の文系数学第一問です。

詳細：(1)(2)は解けました。
(3)はb_n=・・・の両辺に底が2の対数をとって、a_nと似たような形になることは分かりましたがそこから分かりません。
解答→(http://imepita.jp/20101129/596930)では(2)の結果からlog2(b_n)=・・・って書いてるんですけど、同じ形をしているからという理由で無条件でそう変形できるのかという疑問を持ちました。
無条件で変形できるのかどうか、その理由まで教えていただきたいです。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

問題集の解答は、スペースなどの関係から略されている内容が結構あったりします。

そこを補いつつ書いてみると、以下のようになります。
（以下数列を a[n]のように表し、底の 2は省略します。）
--------------------------------------------------------
log(b[n])＝ { log(b[n-1])+ log(b[n-2]) }/2

ここで、log([b_n])＝ d[n]とおくと、
d[n]＝ ( d[n-1]+ d[n-2] )/2

となり、数列 {d[n]}が満たす漸化式は、数列 {a[n]}が満たす漸化式に一致する。
よって、(2)の結果から・・・
--------------------------------------------------------

一度置き換えて表現することで、「同じ数列ですよ」ということをより明確にできます。
こんな感じでどうですか？

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。

回答No.2

R_Earl

無条件で変形できるかどうか怪しかったら、
(1), (2)の解説文の中にあるa_1, a_2, a_n, a_(n+1), a_(n+1)を全て
log2(b_1), log2(b_2), log2(b_n), log2(b_(n+1))に置き換えた文章を作り、
読んで下さい。文章内に何も破綻がなければ、変形できます。

(1)、(2)では「a_nが正の数の数列である時」、
漸化式a_n = a_(n-1)+a_(n-2)/2が作る数列の
一般項の公式を作っています。
log2(b_n)も「正の数の数列」であれば、
log2(b_n)漸化式は先ほど作った公式の漸化式と合致するので、
そのまま当てはめる事ができることになります。

さて、果たしてlog2(b_n)は本当に「正の数の数列」でしょうか？
実はそのことを解説文内ではまったく触れていません。
なので厳密にはlog2(b_n)が「正の数の数列」であることを示さない限り、
(1), (2)の話をそのままlog2(b_n)に適用することはできません。

あるいは(1), (2)の話が「a_nが正負の数や0の値をとる数列」でも成り立つなら、
log2(b_n)にその話を適用することができます。

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。