方程式の解き方

質問

教科書に出てきた例題の解答で、
x＋1/2=1/5x＋2
x＋1/2×10=(1/5x＋2)×10
(x＋1)×5=2x＋20
5x＋5=2x＋20
3x=15
x=5
となっていました。
5x＋5=2x＋20まではわかるのですが、何故この式が3x=15になるのでしょうか…。

回答No.2

sakura_saki · ベストアンサー

5x＋5=2x＋20
3x=15
x=5

丁寧に書くとこうなります

5x＋5=2x＋20
5x-2x=20-5
3x=15
x=5

xが付いているものを左に、数字のみは右に移項。
その時にプラスはマイナスに、マイナスはプラスになるので、
上記のような式になります。

お礼

移項のときに符号が変わるのをすっかり忘れていました…。
よくわかりました。
丁寧に教えてくださってありがとうございます！

回答No.3

ORUKA1951

その教科書の例題の解き方、間違っていますよ!!
x = 5 を代入すると
[5]＋1/2=(1/5)[5]＋2
5＋1/2 ≠ 3
　★検算する癖をつけましょう。(教科書が間違っていることもある)

移項すると符号が変わる。あるいは符号を変えて移項する。
というのは、テクニックというか覚え方であって。式の変形の理由を度外視して
います。

きちんと、式の変形を復習しておきましょう。
　ただし、式を変形するに当たって最も重要な事は、引き算と割り算を足し算、
掛け算に置き換えることが大前提でしたね。
　　a - b ≠ b - a
　　a ÷ b ≠ b ÷ a
これじゃ変形できないですよね。そこで
　　a + (-b) ＝ (-b) + a　　　　負数を加える。負数とは、その数に加えると
0になる数
　　a × (1/b) ＝ (1/b) × a　　逆数をかける。逆数とは、その数にかけると1
になる数
　この部分が抜け落ちいてる状態で「符号が変わる」なんて覚えたって意味あり
ません。

　これによって、
交換則　　a ? b = b ? a　　　?は×と＋
分配則　　a(b + c) = ab + ac
結合則　　ab + ac = a(b + c)

当初の式は
　x＋1/2=1/5x＋2　　この書き方は間違える。
正式には
　x ＋ 1/2 = (1/5)x ＋ 2

　　両辺に(5/1)をかけます。意味はxの係数(1/5)の逆数
　(x ＋ 1/2)×5 = {(1/5)x ＋ 2)×5
　　　分配則で
　5x + 5/2 = x + 10
　　分数がうざいので、両辺を2倍する
　(5x ＋ 5/2)×2 = (x ＋ 10)×2
　　　分配則、交換則で整理して
　10x ＋ 5 = 2x ＋ 20

★両辺に、(-2x + (-5) を加える。
　10x ＋ 5 + (-2)x + (-5) = 2x ＋ 20 + (-2)x + (-5)
交換
　10x + (-2)x ＋ 5 + (-5) = 2x + (-2)x ＋ 20 + (-5)
結合
　(10 + (-2))x ＋ 5 + (-5) = (2 + (-2))x ＋ 20 + (-5)
　8x = 15

教科書に出てきた例題の解答で、
x＋1/2=1/5x＋2　　　　　　　x＋1/2 = (1/5)x＋2とかく
x＋1/2×10=(1/5x＋2)×10　　この計算間違っている【両辺に×10】
　　　　　　　　　　　　　　(x＋1/2)×10 = ((1/5)x＋2)×10
(x＋1)×5=2x＋20
5x＋5=2x＋20
3x=15
x=5
となっていました。
　　何か間違ってませんか???
＞5x＋5=2x＋20まではわかるのですが、何故この式が3x=15になるのでしょうか…。
・・・・・・ここからは間違ったままの説明・・・・・

★移項とは、すでに = の関係にあるものの両辺に同じ処理をしても = の関係は
変わらないという事ですよ。符号うんぬんではない。
　5x＋5=2x＋20　　の両辺に(-2)xを加える。
　　　　　　　　　　 　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　5x＋5+(-2)x = 2x＋20 + (-2)x
　5x+(-2)x＋5 = 2x + (-2)x＋20
　(5+(-2))x＋5 = (2 + (-2))x＋20
・3x＋5 = 20 の両辺に(-5)を加える
　3x＋5 + (-5) = 20 + (-5)
　3x = 15　　両辺に(1/3)をかける
・3x × (1/3) = 15×(1/3)
　x = 5

　確かに、符号を変えて引っ越したように見えますが、それはこの計算を飛ばし
て結果だけ--テクニックとして覚える言い回しです。原理を忘れるとダメだよ。

なお、問題文があなたが書かれたように
x＋1/2=1/5x＋2　でしたら　両辺に5xをかけます。
(x＋1/2)×5x = (1/5x＋2)×5x
5x²＋(5/2)x = 1 ＋ 10x　　両辺ら-10x + (-1)を加える
5x²＋(5/2)x -10x - 1 = 0
5x²+ (-15/2)x + (-1) = 0
・・・・・と二次方程式になりますよ。

お礼

とても丁寧でわかりやすく教えてくださってありがとうございました。
そうですね、原理はちゃんと覚えておきます！
回答してくださってありがとうございました！

回答No.1

asuncion

＞x＋1/2=1/5x＋2

分数を横方向に書くときは、
/
の左に分子全体を
右に分母全体を書くと、
誤解を招かずにすみます。

さて、

＞5x＋5=2x＋20まではわかる

ここまでできていながら

＞何故この式が3x=15になるのでしょうか…。

ここで詰まっている理由がわかりません。
移項しているだけです。

お礼

移項しているだけなら何故数が減るのか…
と思っていましたが符号が変わるんでしたね…。
うっかりしていました…。
回答ありがとうございました。