円の方程式の微分

質問

私の教科書に方程式x^2+y^2=4をｘで微分する際、「ｙをｘの関数と考えて」という言葉がありました。しかし、上の式をｙについて解くとy=±√(4-x^2)なのでｙはｘの関数ではありません。これは何が 行われているのでしょうか?

回答No.1

noname#199771

２つの関数y_1=√(4-x^2),y_2=-√(4-x^2)を考えるとこれらは元の方程式
x^2+y^2=4を満たします。もちろんy_1もy_2もどちらもxの関数です。
「ｙをｘの関数と考えて」には、このようなy_1,y_2を考えるという意味が込めら
れていると思われます。

-2<x<2のとき
(d/dx)y_1=-x/y_1
(d/dx)y_2=-x/y_2

となってどちらも(d/dx)y=-x/yを満たします。

yについて解かずに直接元の方程式を微分しても同じ結果が得られます。

2変数関数F(x,y)=x^2+y^2-4を用いて、F(x,y)=0のように具体的に"y="の
形で解かれていない方程式を陰関数表示といったりします。

高校では多変数の微積分を扱わないのできっちりした説明なくあいまいに
さらっと書かれているのでしょう。

詳しく知りたい場合は「陰関数定理」でググッてみてください。