方程式の解き方

質問

x^3-x^2-4=0

という式で、過程が

(x-2)(x^2+x+2)=0
x^2+x+2＞0
x=2

となっているんですが、どうしてそうなるのかがわかりません；；
教科書も今は手元になく…

通常のax^2+bx+c=0の形なら解の公式やたすきがけで解けるのですが、
三乗となっているとどうやって解いたらいいのか…

式の立て方、公式等ご教授頂きたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#215361

この場合、3次方程式といってもxの1乗がない分だけ簡単です。
まず与式を次のように変形します。
x^2(x-1)=4
ここで、xが正の整数であると決めつけてしまいますが、二つの正の整数をかけて4になるのは、
1×4、2×2、4×1
の3通りしかないので、それぞれの場合について検討します。

(1)1×4の検討
x-1=4→x=5→x^2=25で1にはならないので不適

(2)2×2の検討
x-1=2→x=3→x^2=9で2にはならないので不適

(3)4×1の検討
x-1=1→x=2→x^2=4で適

よって、与式は(x-2)で因数分解できる(x=2で0になる)

お礼

ありがとうございます。
かけて4になるというところに着目するのですね。
xに何か入るかで考えると分かりやすい感じがします…
このように場合わけが少なくて済めば解けそうですが数が増えると厄介ですね；
この問いではとりあえずxに入りそうな数を考えるといいのですね。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

3次方程式を真正面からとくのは大変です。
まずかんたんな整数解がないかあてずっぽう
でためしてみる。時間があればグラフを書くのもよい。
うまくゆけば x-a(aはみつけた解)
で割り切れるので、後は2次方程式をとけば0K。

お礼

ありがとうございます。
x-aでくくったらあとは普通の二次方程式で解が出るということですかね。
x-aをどうやって見つけるかが大変そうですね；

回答No.1

asuncion

f(x) = x^3 - x^2 - 4 とおく。このとき、
f(2) = 8 - 4 - 4 = 0 であるから、
f(x)は(x - 2)で割りきれる。因数定理。
実際に割ってみる。
f(x) = (x - 2)(x^2 + x + 2)
ここで、
x^2 + x + 2
= (x + 1/2)^2 - 1/4 + 2
= (x + 1/2)^2 + 7/4
と平方完成でき、(x + 1/2)^2 ≧ 0, 7/4 > 0 より、
x^2 + x + 2 > 0
よって、f(x) = 0となるのは、x - 2 = 0 のときに限られる。
∴x = 2

お礼

ありがとうございます。
因数定理は自分で何で割れるか見つけないといけないのですよね…？
すみません、因数定理のやり方があまり分かってなくて；
f(2) = 8 - 4 - 4 = 0とありますがまずは割れそうな数字を入れてみるのがいいんですかね…