初等超越関数

質問

exp(-x^2)の不定積分や、cos x = hx の解が初等関数で表わせないことが
　金子晃：数理系のための基礎と応用微分積分 II
　　サイエンス社　(2001)
の第8章付録で証明されています。ところでこの中に

補題10:αが無理数の時、x^αは第2位の初等超越関数

というのがあるのですが、これはどうしてでしょうか。

回答No.3

noname#108554 · ベストアンサー

もちろんα=1のときは定義から第0位です。

岩波>有限個の複素変数の代数関数を第0級初等関数

ということは、要するに第0級＝多項式ですから。
しかし、今はαが無理数のときを
話題にしているので、第2位ですね?

お礼

ご回答ありがとうございます。αが有理数でも無理数でもx^α=exp(αlog x)は成り立つが、αが有理数のときはx^αのままで代数関数であるのに対し、αが無理数のときは代数関数にexpまたはlogが0回以上作用した形に書こうとすればexpまたはlogが少なくとも二つ必要なので第２位の超越関数ということだと思います。

回答No.2

noname#108554

「数理系のための基礎と応用微分積分 II」を
図書館で探して、なかったので、いまいち分かりませんが、
「補題」とあるところからして、
著者の目的にとってはαが無理数のときを示せば十分で
非整数という言い方を使いたくなかったのでしょうか?

>αが無理数であることと第2位の超越関数であることとは
>どの様に関係しているのでしょうか。

αが無理数⇒exp(αlog(z))は第2位は成り立つが、
逆は成り立たないと。反例：α=1
同値命題にしたいなら、
αは非負整数でないとき⇔exp(αlog(z))は第2位
でしょう。

やっぱり、「非負整数でないとき」なんて表現を
嫌っただけのような気がしますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。αが１であっても
　x^α = exp(αlog(x))
は成り立ちますからこの式からx^αが第2位の超越関数であるというのは誤りではないでしょうか。

回答No.1

noname#108554

岩波の数学辞典第3版「初等関数」の項にはこうあります。

J.Liouvilleは初等関数を次のように定義した。有限個の複素変数の代数関数を第0級初等関数、e^zとlog(z)を第1級初等関数、両者をあわせて、たかだか第1級初等関数と呼ぶ。帰納的に・・・(中略)・・・たかだか第n級初等関数であって、たかだか第(n-1)級初等関数でないものを、第n級初等関数と呼ぶ。

>第2位の初等超越関数

とありますが、これが「級」のことだとすれば、
x^α=exp(αlog(x))なので、第2位です。

お礼

御回答ありがとうございます。αが無理数でなくても
　x^α=exp(αlog(x))
と表わせると思いますが、αが無理数であることと第2位の超越関数であることとはどの様に関係しているのでしょうか。