超越方程式

質問

前の質問を締め切っていないのに新しい質問をさせて頂きます。いわゆる超越方程式は四則やベキ根では解けませんが、解を初等関数で表わせれば十分と思われます。超越方程式も全てが解けないわけではない(例えばlog(sin x)=a の解はx=Arcsin(exp(a)) )と思いますが、どのような場合に解を初等関数で表わせるかについてある程度一般的な理論はあるのでしょうか。
　また初等関数の有限回の合成では表わせないが無限回の合成で表わせる場合もあります。例えば弧長が１で弦と円弧の距離が0.2の扇形の角を求める方程式は
　1-0.2x = cos(x/2)
になりますが、この解は　
　X[n+1] = 2 Arccos(1-0.2 X[n])
という数列の極限になります。ある初等関数の無限回の合成は他の初等関数を用いても有限回の合成では表わせないということについて私はある「証明」を思い付きました。
　「無限回の合成がある極限に収束するならば、その値は(ある範囲で)初期値の取り方に依存しません。しかし初等関数の有限回の合成が定数になるのは
　(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1
のような場合しかありません。したがって無限回の合成が他の初等関数の有限回の合成に等しくなることはない。」
というものですがこのような証明でよろしいでしょうか。

回答No.3

sokamone · ベストアンサー

No.1です。そうですね。f(x)=xとしたのは、僕の勘違いでした。最初、f(x)=x^2くらいを考えていたのですが、f(x)=xでもいいかと思ったのが裏目にでました。

ぼくもNo.2の回答と同様な疑問を持ちました。
>初等関数の有限回の合成が定数になるのは
>　(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1
>のような場合しかありません。
の部分ですが、「のような」というのはどう定式化されるものなのでしょうか？

それと初等関数ですが、

多項式、三角関数、有理関数、無理関数、対数関数、指数関数、および、これらの有限個の合成により得られる関数のことを初等関数と呼ぶ、

が、ぼくの理解です。

grothendieckさんの問題設定としては、

１．一つの初等関数ｇ(x)を無限回合成して極限をとって得られる関数は、初等関数か？

２．可算無限個の初等関数を適当な順番で合成したときの極限として得られる関数で初等関数になるものはあるか？

ということだと思うのですが、先ほどのf(x)=xなどのつまらない例もあることにはあるし、定義域を限れば、極限が定数になるものもいくらでもあると思います。

例えば、どんな関数y=f(x)も、無限回合成していって極限をとってしまえば、y=f(x)とy=xのグラフの交点のｘ座標のどれかに値が収束するというのはご存知だと思います。一般には、y=f(x)とy=xのグラフの交点はとびとびの値をとるので、極限として得られる関数は、連続関数にならないことがほとんどです。したがって、初等関数になることもほとんどない、ということがわかります。しかし、y=xのグラフとの交点が連続して出てくるような関数、y=f(x)=x自身は、当然、それ自身が極限になるので、極限関数が初等関数にはならないと一概にいうこともできないですね。

以上が、ぼくの回答です。他に深い考察とかもあるとは思いますが、これ以上はちょっとぼくには荷が重過ぎるので、この以上の回答は控えたいと思います。長文失礼しました。

回答No.5

noname#108554

だいたいおっしゃりたいことが分かってきました。
しかし、アナロジーですが、
有理数列の極限が有理数になることもあるので
初等関数列の極限が初等関数になっていてもいいんじゃないでしょうか。
実際、次の例：
X[n+1]=1/(1+X[n])、X[1]=1/(1+x)で、
X[n]=(n-1+x)/(n+x)　(n>=2)
なので、X[n]→1
なんていうのはどうですか？

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなって申し訳ありません。私が考えていたのはお答え頂いた例のようなものではなく、方程式に含まれる定数には依存するが、nには依存しないような関数の無限回の合成が他の初等関数で表わされるかというものでしたが、この方針で証明するのは無理な様です。

回答No.4

noname#108554

では、これは反例にはならないんでしょうか：
X(n+1)=1+x*X(n)
X(0)=1
X(n)→1/(1-x)　(n→∞)

お礼

御回答ありがとうございます。私が考えていたのは
　X[n+1]=g(X[n])　g(x)は初等関数
でg(x)の関数形は元の方程式に含まれる定数には依存するが、xには依存しないというものでした。したがってご指摘の例は反例にならないと考えます。するとこの極限となる関数は区分的に定数となる不連続関数で、初等関数と一致しないと考えました。しかしNo3の方が言われるようにこれで証明にするのは難しいかもしれません。しかしやはり質問の方程式の解は初等関数では表わされないと思うのですが、それは証明できないでしょうか。

回答No.2

noname#108554

>しかし初等関数の有限回の合成が定数になるのは
>　(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1
>のような場合しかありません。

ここの証明がポイントだと思うので
ここを省略されては判断しようが無いと思いますが？

それとも、実はここの証明は自信があるので
あえてここで質問するには及ばないとか？

ってか、初等関数とは何を指してますか？
初等超越関数なのか、ベッセルみたいなのは含まないのか。

世の中、Mathematicaのようなソフトが出回っているということは
ある程度の一般論があるんでしょうが
私のような素人には深すぎる世界です。

補足

御回答ありがとうございます。初等関数とは、代数関数、三角関数、逆三角関数、指数関数、対数関数、およびこれらを有限回組み合わせて得られる関数のこととします(ベッセル関数は含みません)

回答No.1

sokamone

いまいち問題の主旨を理解していないのですが、
こういう例は反例にはなっていないのでしょうか？

f:(-1,1)→Ｒ、f(x)=x

の無限回の合成は、

lim(n→∞)f^{n}(x)=0

これは、

g:(-1,1)→Ｒ、g(x)=0

という初等関数に一致する。

お礼

御回答ありがとうございます。反例というのは、「初等関数の無限回の合成が他の初等関数になることはない」という命題の反例でしょうか。f(x)=xは何回合成しても恒等関数f(x)=xであり、x^nとは異なります。
　しかし確かにf(x)=xの無限回の合成はf(x)=xという初等関数になるので、これが反例とも言えます。私の命題の述べ方が粗すぎた様です。
「g(x)をある初等関数として、
　　　X[n+1]=g(X[n])
という数列が極限は持つが、有限なnでは収束しないとする。このとき、この極限で定義される関数は初等関数にはならない。」と述べるべきであったかと反省しています。