1/(1+x^4)の積分について

質問

こんにちは。
1/(1+x^4)の積分について質問です。

たとえば、1/(1+x)、1/(1+x^2)、1/(1+x^3)は比較的簡単に
初等的に積分できます。
しかし、1/(1+x^4)はどうやら一筋縄ではいかないようです。
これについて、質問があります。

(i)1/(1+x^4)は初等的に積分できるか？
　 もし、初等的に積分できないとすれば、何らかの特殊関数（たとえば、　 楕円積分など）で表すことができるか？

(ii)x^2/(1+x^4)ではどうか？

以上です。よろしくお願い申し上げます。

回答No.4

oyaoya65 · ベストアンサー

Mathematicaで積分した結果では以下のようになりました。（初等関数で出てきます。積分結果を微分して整理すると元に戻ります。）
Cは積分定数,ln (X)は自然対数です。

＞(i)1/(1+x^4)
{2*arctan(1 + x*√2) - 2*arctan(1 - x*√2) - ln(-1 + x*√2 - x^2) + ln(1 + x*√2 + x^2)}/(4√2)　＋ C

＞(ii)x^2/(1+x^4)
{2*arctan(1 + x*√2) - 2*arctan(1 - x*√2) + ln(-1 + x*√2 - x^2) - ln(1 + x*√2 + x^2)}/(4√2) + C

下記のURLはMathematicaの開発元wouframのサービスサイトです。不定積分をしてくれますので確認してみてください。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

お礼

ご回答ありがとうございました。

初等関数で表すことができるのですね。

回答No.3

proto

一般に有理関数の不定積分は初等関数で表されます。

分母を二次以下の多項式の積に因数分解。
被積分関数を部分分数展開。
展開した項をそれぞれ積分。
という手順を踏めば次数がどれだけ上がっても積分できます。(分母を手計算で因数分解しようとすると大変ですが。)

あとは部分分数展開した後の関数
　　(ax+b)/(cx^2+dx+e)^m
をa≠0,c≠0,m≧2などの様々な場合に積分する方法を知っておけば大丈夫です。

この問題の場合、1+x^4の因数分解も難しくないですし、部分分数展開もそこまでややこしくないので、気を引き締めれば解けると思いますよ。

お礼

ご回答ありがとうございました。

初等関数で表すことができるのですね。

回答No.2

endlessriver

1/(1+x^4)、x^2/(1+x^4)は初等的に積分できます。
＃1の方のとおり、無理矢理次数を下げて下さい。
その他にも部分分数の展開にも注意が必要です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

初等関数で表すことができるのですね。

回答No.1

guuman

ｘ＾４＋１を因数分解する

お礼

ご回答ありがとうございました。