exp(-ax^2)*cosx の証明

質問

exp(-x^2)*cos2bx
　の0から∞までのxで積分の仕方が分りません。

不定積分が出来ないコトと答えが

(1/2)*exp(-b^2)√π　

となるコトは分るのですが、
証明が分りません。

本当に困ってます。
どなたか教えてください。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

ガウス積分

　∫[-∞→∞] exp(-x^2) dx = √π

は既知であるとします。ガウス積分は全ての積分のうちでも最も重要なものかもしれません。というのは自由場のグリーン関数の経路積分表示がガウス積分に帰着されるからです。そこでガウス積分に帰着されるものはすべてガウス積分に帰着させることをお勧めします。
　exp(-x^2)*cos2bx = Re{exp(-x^2 +2ibx)}
ここでexpの引数を
　-x^2 +2ibx = -(x - ib)^2 - b^2
と平方完成するのがお決まりのやり方です。したがって
　∫[-∞→∞] exp(-x^2 +2ibx)dx
= exp(-b^2)∫[-∞→∞] exp(-(x-ib)^2)dx = √πexp(-b^2)
であり、exp(-x^2)*cos2bxは偶関数なので
　∫[0→∞] exp(-x^2)cos(2bx)dx = √πexp(-b^2)/2
ガウス積分のいろいろな導出法は
　George Boros, Victor Moll, Irresistible Integrals, Cambridge(2004), Chap 8

にあります。

回答No.1

siegmund

投稿のページに出てきますように

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ということですので，詳細に回答を書くとそれこそ削除されそうです．
アウトラインのみ記します．
ご自分で計算された結果など補足などに書き込めば削除は勘弁して
もらえそうです(ですよね，管理者様)．

表題の式と文中の式がちょっと違っていますが，文中の方で行きます．
(1)　　I(b) = ∫{0→∞} exp(-x^2)*cos2bx dx
とおきます．
積分と微分の交換はＯＫか，というあたりは知らん顔して
(2)　　dI(b)/db
を計算してみてください．
１回部分積分すれば再び I(b) が出てきて
(3)　　dI(b)/db = ○I(b)
の形になります．
○のところは b が含まれています(ご自分でどうぞ)．
(3)は見方を変えれば
(4)　　dI/I = ○db
という微分方程式で，解は容易に求められ
(5)　　I(b) = C exp(-b^2)．
の形になります．
C は積分定数で b には無関係．
C を決めるためには b=0 と置いて(1)の積分結果と比べてみてください．
これで，
(6)　　I(b) = (1/2)*exp(-b^2)√π
が得られます．

積分変数の変換をすれば
(7)　　∫{0→∞} exp(-ax^2)*cos2bx dx
　　　　= (1/2)√(π/a) exp(-b^2/a)
も得られます．
これで b=1/2 としたものが表題の積分ですね．

他には複素関数論の留数定理の応用でやる手もありますが，
ここでは実関数のみの話でできる方法を紹介しました．