不等式の証明と収束域の問題

質問

(I)
a(∈R)>0が存在して|x|<=1/2において1-cos(x)>=ax^2となることを証明せよ。

(II)
∬(1-1/2cos(x)-1/2cos(y))^(-p)dxdyが収束する定数p>0の条件を求めよ。
(積分範囲は原点Oを中心とした半径1/2の円)

（I）は直感的にaをある程度大きく取れば満たすことはわかります。が、(II)で使うためにある程度範囲を絞る必要があると思います。どのように証明したら良いでしょうか。
cos(x)のマクローリン展開から剰余項を除いた式とは不等号が逆です。

(II)はあまり方針が掴めていません。ヒントだけでもお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(I)
a=1/4
|x|≦1/2
としてcosxを展開すると
cosx=Σ_{n=0～∞}{(-1)^n}x^{2n}/(2n)!
↓交代級数≦(正項までの和)だから
cosx≦Σ_{k=0～2n}{(-1)^k}x^{2k}/(2k)!
↓右辺がn=1,2n=2,xの2k=4n=4乗までの和のとき
cosx≦1-x^2/2+x^4/4!
↓4!=24だから
cosx≦1-x^2/2+x^4/24
↓両辺にx^2/2-x^4/24-cosxを加え左右を入れ替えると
1-cosx≧x^2/2-x^4/24
↓両辺からax^2を引くと
1-cosx-ax^2≧x^2/2-x^4/24-ax^2
↓a=1/4だから
1-cosx-ax^2≧x^2/2-x^4/24-x^2/4
1-cosx-ax^2≧x^2(6-x^2)/24
↓|x|≦1/2
↓x^2≦1/4<6
↓6-x^2>0
1-cosx-ax^2≧x^2(6-x^2)/24>0
↓
1-cosx≧ax^2

(II)
p>0
a=1/4
x^2+y^2≦1/4
f(x,y)=1-(1/2)cos(x)-(1/2)cos(y)
とすると
x^2/2≧1-cosx≧ax^2だから
x^2/4≧(1-cosx)/2≧ax^2/2=x^2/8
y^2/4≧(1-cosy)/2≧ay^2/2=y^2/8
だから
(x^2+y^2)/4≧f(x,y)≧(x^2+y^2)/8
{(x^2+y^2)/4}^p≧{f(x,y)}^p≧{(x^2+y^2)/8}^p
{4/(x^2+y^2)}^p≦{f(x,y)}^{-p}≦{8/(x^2+y^2)}^p
だから
x=rcost
y=rsint
0≦t≦2π
0<r≦1/2
D={(x,y)|x^2+y^2≦1/4}
とすると
dxdy=rdrdt
x^2+y^2=r^2
だから
p<1のとき
0<∬_D{f(x,y)}^{-p}dxdy
≦∬_D[{8/(x^2+y^2)}^p]dxdy
=8^p∬_{0<r≦1/2,0≦t≦2π}r^{1-2p}drdt
=2π8^p∫_{0<r≦1/2}r^{1-2p}dr
=π8^p[r^{2-2p}/(1-p)]_{0<r≦1/2}
=π8^p(2^{2p-2})/(1-p)
=π(2^{5p-2})/(1-p)
だから
p<1
のとき収束する

p=1のとき
∬_D{f(x,y)}^{-1}dxdy
≧∬_D{4/(x^2+y^2)}dxdy
=4∬_{0<r≦1/2,0≦t≦2π}(1/r)drdt
=8π∫_{0<r≦1/2}(1/r)dr
=8π[logr]_{0<r≦1/2}
=∞
p>1のとき
∬_D{f(x,y)}^{-p}dxdy
≧∬_D[{4/(x^2+y^2)}^p]dxdy
=4^p∬_{0<r≦1/2,0≦t≦2π}r^{1-2p}drdt
=2π4^p∫_{0<r≦1/2}r^{1-2p}dr
=π4^p[1/[(1-p)r^{2p-2}]]_{0<r≦1/2}
=π4^p{(2^{2p-2})/(1-p)+lim_{r→+0}1/[(p-1)r^{2p-2}]}
=∞
だから
∬_D{f(x,y)}^{-p}dxdyは
p<1
のときだけ収束する

お礼

とても詳細なご回答ありがとうございました。

交代級数≦正項までの和
これが全ての鍵を握っていましたね。

とても勉強になりました！m(__)m