不等式の証明

質問

a＞１のとき,a(x-1)<x^aー1<ax^(a-1) ＊(x-1) (x>1)
の証明問題です

分かる方がいたら教えてください
ちなみに微分法の範囲です

回答No.1

akinomyoga

(解法1)

愚直にやるならば
　f1(x) = 真ん中 - 左辺, f2(x) = 右辺 - 真ん中
として f1(1) = f2(1) = 0, および f1(x), f2(x) が x > 1 で単調増であること:
　f1'(x) > 0, f2'(x) > 0, (x > 1)
を言えば良いです。

実際に、
　f1(x) = x^a - 1 - a(x-1), f2(x) = ax^(a-1) (x-1) - x^a + 1,
　f1(1) = 0, f2(2) = 0,
　f1'(x) = a (x^a - 1) > 0, (x > 1),
　f2'(x) = a(a-1) x^(a-2) (x-1) > 0, (x > 1),
となるので
　f1(x) > 0, f2(x) > 0, (x>1)
より
　a(x-1) < x^a-1 < ax^(a-1) (x-1)■.

(解法2)
或いは、不等式を見て気付けば以下の様にできます:

f(x) = x^a とします。f'(x) = a x^(a-1) は単調増なので、
　f'(1) < f'(t) < f'(x), (1 < t < x).
両辺 ∫[t=0～x]dt 積分をすると、
　f'(1) (x-1) < f(x) - f(1) < f'(x) (x-1).
f, f' を代入すると、
　a(x-1) < x^a-1 < ax^(a-1) (x-1)■.