解析学の問題

質問

どうしてもわからない問題があるので質問します。

問、以下の広義積分について(1)はp<1のとき、(2)はp>1のとき収束することを示せ。
(1) ∫[1,∞] x^p*sin(x^2) dx
(2) ∬[(x,y)|x^2+y^2≦1] (|x||y|) / ((|log(x^2/2 + y^2/3)|^p)*(x^2+y^2)^2) dxdy

(1)はx^2をyにおき、
lim[t->∞] ∫[1,t] y^((p-1)/2) dy　　― (1)
が収束することを示し、
lim[t->∞] ∫[1,t] y^((p-1)/2) dy ≧ 与式
によって示そうとしましたが、(1)の収束を示すことができませんでした。やり方が違うのでしょうか？

(2)は
x=(√2)*r*cosθ
y=(√3)*r*sinθ
と変数変換をして解こうとしましたが、log以外の部分がややこしくなって解き方がわからなくなりました。

わかる人がいれば、できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

(1)
変数変換というよりも、| sin(x^2) | ≦ 1 を使って評価したのですね。
| ∫ (x^p) sin(x^2) dx | ≦ ∫ | x^p |・| sin(x^2) | dx ≦ ∫ x^p dx
が成り立つので、右辺 = (1/2) lim[t->∞] ∫[1,t] y^((p-1)/2) dy が
収束するならば、確かに ∫[1,∞] (x^p) sin(x^2) dx の絶対収束が
言えたのですが、
残念ながら、∫[1,∞] x^p dx = lim[t→∞] { t^(p+1) - 1 } / (p+1) は
-1 < p < 1 の範囲では発散しますから、そうは問屋が卸しません。
| (x^p) sin(x^2) dx | ≦ ∫ x^p dx では、評価が緩すぎたのです。

別の方法を考えましょう。
(a) 積分範囲を 2π(n-1) ≦ x^2 ≦ 2πn で分割して、
　　級数の収束に帰着させる。
(b) (x^p) sin(x^2) = (x^(p-1)) (x sin(x^2)) で部分積分に持ち込んで、
　　p < -1 の場合に帰着させる。
他にもイロイロあると思います。

(2)
その方法でよいのでは？
被積分関数が x, y の遇関数なので、第一象限について積分して
４倍すればよいから、分子の絶対値記号は外せますね。
r ≦ 1 だから、log(r^2) の符号も決まる。
極座標に変換した後、更に s = r^2 で変換すれば、
(∫ なんとか ds) (∫ かんとか dθ) という形に分解できます。

お礼

わかりやすい説明のおかげで、両方の問題を解くことができました。ありがとうございました。