y1,y2,…ym:一次独立でV=span{x1,x2,…,xn}ならm≦n
[問]体F上の線形空間V∋y1,y2,…ym:一次独立.
V=span{x1,x2,…,xn} (x1,x2,…,xn∈V)
とする時(つまり、x1,x2,…,xnはVのspan set)、
m≦nとなる事を示せ。
[証]
dimV=Lと置くと、L≧mで
(i) L=mの時
V=span{y1,y2,…,ym} 且つ y1,y2,…ym:一次独立
が成立せねばならない(∵dimの定義「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」)。
ここでm>nと否定して矛盾を引き出してみる。
その場合,先ず、x1,x2,…xn:一次従属でなければならない(∵dimの定義)。
そこから先に進めません。どう書けばいいのでしょうか?