振動の問題

質問

滑らかな針金に質量m1の環を通し水平に張る。環に長さlの糸を結び、その先に質量m2の質点をつるして、針金と同じ鉛直面内で振動させる。微小振動の周期を求めよ。という問題が分かりません。

まず自分なりに、
環の中心の位置座標を(x1,y1)、質点の位置座標を(x2,y2)、張力をS、環が針金から受ける垂直抗力をRとすると、
運動方程式は

m1x1''=Ssinθ
m1y1''=-m1g-Scosθ+R
m2x2''=-Ssinθ
m2y2''=Scosθ-m2g

さらに、x2=x1+lθ y2=y1+l
これらの式から
(m1+m2)x2''=m1lθ' と出せたのですが当然このままだとxについて解くことができません。
しかし、ここからどうすればよいのか分かりません。
どなたか教えてください。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

>なぜcosθ≒(1-θ^2/2)　となるのでしょうか。

テイラー展開あるいはマクローリン展開に関する理解を深められるのがよいと思います。
cosθ≒(1-θ^2/2)
はcosθのマクローリン展開のθ^2までとった近似になります。

参考：http://ja.wikipedia.org/wiki/テイラー展開

しかし，ここでは簡単に

cosθ = √( 1 - sin^2θ ) ≒ ( 1 - θ^2 )^(1/2)

x << 1のとき，
( 1 + x )^n ≒ 1 + nx
を用いると，

cosθ ≒ 1 - θ^2/2

と考えてもよいですね。

お礼

なるほど！
詳しく説明していただきありがとうございます。
テイラー展開ですか・・・確かにそこの勉強はおろそかにしていますね(汗)

しかし理解は深めることができたと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

yokkun831

>y2''≒0　とする理由は、y軸方向にはほとんど運動をしていないから、ということでよろしいでしょうか？

そういう理解でよいと思いますが，気になったのならそれが理解を深めるチャンスです！

支点位置をy軸の原点にとれば，
y2 = -Lcosθ≒-L(1-θ^2/2)
∴Δy2 ≒ LθΔθ
Δx2 やΔx1はLΔθのオーダーであるのに対して，Δy2はさらにθの微小加減が掛け算になっています。つまり微小の度合が１ランク上なのです。

θに対して１次の近似をして，
sinθ≒θ
cosθ≒1
とする基準でいけば，
y2 ≒ -L
∴y2' ≒ 0，y2'' ≒ 0
であるといってもよいでしょう。

補足

補足説明感謝します。
なるほど、y2≒0にしてよいという理由は分かりました。しかし、
>-Lcosθ≒-L(1-θ^2/2)
の計算が分かりません・・・
なぜcosθ≒(1-θ^2/2)　となるのでしょうか。

回答No.1

yokkun831

微小振動なので，y2''≒0とできます。すると，
S ≒ m2g
∴m2x2'' = -m2g θ
これに，
x2'' = m1Lθ''/(m1+m2)
を代入すると，θに関する運動方程式
θ'' = -(m1+m2)g/(m1L)・θ
を得ます。θを変数にとった方が見通しはよさそうですが，もちろん，x2を変数にとることもできますね？

なお，水平方向の外力はありませんから，初速度ゼロならば重心は動くことができません。重心位置をx座標原点にとれば，
m1x1 + m2x2 = 0
によってx1とx2は一意に関係づけられます。

補足

素早い解答ありがとうございます！
微小振動なので y2''≒0　とする理由は、y軸方向にはほとんど運動をしていないから、ということでよろしいでしょうか？