数IIの問題です

質問

数IIの問題で、Lk:y=x+|x-k|, 円C:x^2+(y-2)^2=1(kは実数）
(1)L2(k=2のときのLk)を図示し円Cとの共有点の個数を求めよ
(2)Lkと円Cの共有点の個数を求めよ

まずx≥2とx≤2とそれぞれの解を出して2x-2と2になったのですが合ってますでしょうか？中心は(0,2)になりました。(2)も解き方が全く分からないので詳しいご回答宜しくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
L2のグラフは、添付図のk=2のときのグラフとなります。

>x≥2とx≤2とそれぞれの範囲のyを出して2x-2と2になったのですが合ってますでしょうか？
合っています。

円Cとの共通点の個数は
A(-1,2)とB(1,2)の2個
となります。

(2)
kの値によってLkのグラフは、添付図のように平行移動し、円Cとの共有点の個数が変化します。
なので、kによって、以下のように場合分けが必要になります。
Lkと円Cの共有点の個数は、添付図のグラフより
k>3のとき　共有点　0個
k=3のとき　共有点　1個
1<k<3のとき　共有点　2個
k=1のとき　共有点　1個
√5-2<k<1のとき　共有点　0個
k=√5-2のとき　共有点　1個
-√5-2<k<√5-2のとき　共有点　2個
k=-√5-2のとき　共有点　1個
k<-√5-2のとき　共有点　0個

となります。

お礼

詳しいご回答ありがとうございました。
グラフも分かりやすかったです！
あとは自分で解いてみます。

回答No.2

yyssaa

(1)L2(k=2のときのLk)を図示し円Cとの共有点の個数を求めよ
＞L2:y=x+|x-2|はx≧2で直線y=2x-2、x＜2で直線y=2。
円Cは点(0,2)を中心とする半径1の円。
よって両者の共有点は(1,2)と(-1,2)の2個。
(2)Lkと円Cの共有点の個数を求めよ
＞Lkはx≧kで直線y=2x-k、x＜kで直線y=k。
この2本の直線の交点は(k,k)だから、y=x+|x-k|のグラフは
点(k,k)で繋がった折れ線となる。x-y座標面に円Cの図を
描き、2直線y=2x-kとy=kの図(折れ線)を書き加えて、点(k,k)
の位置によってこの折れ線と円Cとの共有点の個数がどう変わる
かを調べる。点(k,k)は直線y=x上にあるので、k＞3では円Cと
この折れ線との共有点は無いが、kを小さくしていく(点(k,k)を
y=x上を滑らして下げてくる)と、k=3すなわち2直線の交点が
点(3,3)に来たときにこの折れ線のy=kの部分が円Cの上端に接し、
さらにkを小さくしていくとこの折れ線(y=kの部分)は円Cの下端
に達するまでは円Cと2個の共有点をもち、下端に達したときに
再び接することになる。このときのkは図から1であることが分
かる。
さらにkを小さくしていくと共有点は一旦は無くなるが、再び
折れ線の今度はy=2x-kの部分が円Cに接するようになる。
そして、さらにkを小さくすることでy=2x-kの部分と円Cとの共有
点は2個になり、最後にもう一度円Cに接して、その先はkをいくら
小さくしても共有点は生じない。
以上からy=kの部分と円Cとの共有点の個数は
3＜kでは0、k=3では1個、1＜k＜3では2個、k=1では1個、k＜1では0
となる。
次に、y=2x-kと円Cとの共有点については、y=2x-kとx^2+(y-2)^2=1
を連立で解いてxの解の数を調べると、
x^2+y^2-4y+3=0にy=2x-kを代入して5x^2-4(2+k)x+k^2+4k+3=0
から、根の判別式=16(2+k)^2-4*5(k^2+4k+3)=-4(k^2+4k-1)=Dとして、
D=0で共有点1個、D＞0で共有点2個、D＜0で共有点無しとなる。
k^2+4k-1=0を解くと、k={-4±√(16+4)}/2=-2±√5となるので、
k=-2±√5でD=0だから共有点1個。-2-√5＜k＜-2+√5でD＞0だから
共有点2個。k＜-2-√5及び-2+√5＜kではD＜0だから共有点は0と
なる。以上からLkと円Cの共有点の個数は
3＜kで0
k=3で1個
1＜k＜3で2個
k=1で1個
-2+√5＜k＜1で0
k=-2+√5で1個
-2-√5＜k＜-2+√5で2個
k=-2-√5で1個
k＜-2-√5で0
となる。

お礼

ありがとうございました。
これで解決しました～！