共有点の問題です。

質問

関数f(x)=(x^2+3x)e^(-x/2)について次の問いに答えよ。
ただしlim(x→∞)(x+3)e^(-x/2)=0を使っても良い。

(1)f'(x)を求めよ。
(2)y=f(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ。
(3)kを定数とするとき、方程式(x+3)e^(-x/2)=kの異なる実数解の個数を、kの値で場合わけして求めよ。
(4)mを定数とするとき、y=f(x)の表す曲線と直線y=mxが異なる3個の共有点を持つようなmの範囲を求めよ。

という問題です。(3)までは自力で解けたのですが、最後の求め方が分かりません。
曲線の接線などを考えてみたのですが…。
ヒントでいいので、教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

(3)が出来ているのなら、(4)はできたも同然なのですが…

g(x) = f(x) - mx とおくと、
y = f(x) と y = mx の共有点の個数は、
g(x)=0 の相異なる実数解の個数で、
g(x) = (x^2+3x)e^(-x/2) - mx = x{(x+3)e^(-x/2) - m}、

つまり、方程式｛～}=0が、0以外に、
２つの異なる実数解を持てばOKということで、
こう考えれば、(3)はそのまま使えますよね。

お礼

なるほど！回答どうもありがとうございました。

回答No.1

noname#130496

ヒントでもないんですが...
m≠3の場合、(4)の方程式f(x)=mxの実数解の集合は、(3)の方程式でk=mとした時の実数解の集合に0を加えたものと、一致するのでは。
m=3の場合は完全に一致するのかな?