こんばんは。
啓蒙なんて恐れ多いですが、クイズみたいなので答えさせてください。
私はこのonは「～の最中」「～に就いている」の感じのonではないかと推測します。
to(方向）の後には場所が来ますが、picnicは目的地ではないわけですし、このonは
on businessのonと同じではないでしょうか？
もちろん方向や場所を表すonもありますが、やはりpicnicでは方向や場所は関係が無いような気がします。
すなわち
He sent her on an errand.のonと見ました！
トンチンカンな回答ならすみません。
on は、確かに皆様のいうように、オンですね。
ただ、やっぱり、go も関係してるから、
go on a picnic なわけですね。
on a picnic であり、go on なわけです。
これが、walk だと、walk for a picnic になるのかな。
あんまし言わないか。walk on だと、文字通り、どこを
歩くかになっちゃいますね。a picnic は来ないね。
オンゴーイングになるわけだから、go on a picnic で、
ちょっくら行こっかなってえと、go for a picnic って
風に気持ちも身体も向いていく。
date も、drive も、trip も、journey も、
とりかかるもんには、みんな、go on ! っすね。
onの基本義から説明していきたいと思います。
onは、まず「接触」を表します。
「～の上に」だけでなく、
横でも下でも、接触していれば、onが使えます。
例えば、
There is a picture on the wall.
（壁に絵がかかっている）
There is a fly on the ceiling.
（天井に、はえがとまっている）
次に、「接触」はスイッチオンのイメージにもつながっていきます。
Turn on the radio, please.
（ラジオの電源を入れてください）
これの反対は、「分離」のoffです。
Turn off the radio, please.
（ラジオの電源を切ってください）
回路が接触していないのですね。
さて、このスイッチオンのイメージから、
onは、「活動中」を表すことになります。
何かの動作や活動が行われているときに、onが使われます。
on duty：「勤務中で」
on sale：「販売中」
問題の"on a trip"ですが、
これも「活動中」のonです。
on a trip：「旅行中で」
そして、"go on a trip"は、
"on a trip"と"go"をいっしょに使った表現で、
go on a trip：「旅行でどこかに行く、旅行に行く」
「どこかに」をはっきり言いたければ、
"to ～"を付け足せばいいのです。
I went on a trip to India last summer.
（去年の夏インドに旅行した）
前置詞は、まず基本義を押さえること。
次に、その基本義からさまざまな意味に発展していくイメージをつかむこと。
この２つのステップで攻略すればいいと思います。
仰せの如く、go on + a picnic ではなく、go + on a picnic です。
さて、目的を表す前置詞としては、一般に、for, on, afterがあります。
for：～の目的で
on：～の用事（目的）で
after：～を追い求めて
などのニュアンスです。forとonは、ほぼ重なる意味ですので、どちらを用いるかは慣用によると思います。
ご質問のpicnicの場合、
・go on a picnic.
・go for a picnic.
両方とも可能です。
お礼
>このonはon businessのonと同じではないでしょうか？ この一言で，僕は目が覚めました！ ＃ （*^_^*）大袈裟か・・・・。 >トンチンカンな回答ならすみません。 センスのある英語力をお持ちと 推察いたします。 ありがとうございました。