複素積分

質問

Cauchyの積分定理の応用に関する問題（Fresnel積分）に関してですが、テキストなどでは、積分路を扇にとって積分していますが、これを二等辺三角形にして考えています。

　まずf(z)=e^(iz^2)として、積分路Ｃを0,R,(1+i)Rを頂点とする直角二等辺三角形の周とします。ここで、Ｃ上の積分∫f(z)dxを考えて、Fresnel積分を導きたいのですが、一部積分評価がわからないところがあり、質問させていただきました。
　積分路ＣをＣ１（0→R)、Ｃ２（Ｒ→(1+i)R)、Ｃ１（(1+i)R→0)、として考え、各積分路の積分をI1,I2,I3とすると、Cauchyの積分定理より、
　　∫f(z)dx=I1+I2-I3=0
となり、I1,I3については問題ないのですが、I2の積分評価がうまくできません。

　C2をパラメータtを用いて、z=R+it,(0≦t≦R)とすれば、
　　I2=i∫[0,R] e^(i(R+it)^2) dt
　　 =i∫[0,R] e^{i(R^2-t^2)-2Rt} dt　　－－－－（＊）
となり、（＊）式の積分評価がよくわかりません。R→∞としたとき、I2→0となるのですが、どうやって導いたらよいのでしょうか？どなたか教えていただけないでしょうか？できれば、詳しく教えていただけると大変助かります。
　大変読みづらいかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

e_o_m

複素積分の評価でよく使う不等式として
|∫f(z)dz|≦∫|f(z)|*|dz|
があります。

今回の場合もこれをつかってやれば
|I2|≦=∫[0,R] e^(-2Rt) dt={1-e(-2R^2)}/(2R)→0　(R→∞)
と評価出来ますね。

蛇足として、すでによくご存じかもしれませんが、複素積分の評価でもう一つよく使われる定理としてJordanの補助定理があります。

原点を中心とした半径Rの上半平面にある半円Cを積分路にとり、"a>0"のとき
∫exp(iaz)f(z)dz→0　（R→∞)
ただし、f(z)は|z|→∞で一様にゼロに近づくとする。

この定理は先ほどと同様の積分評価をしてやれば示せますので、実際知らなくても大丈夫です。が、この形の積分形はフーリエ変換等々で頻繁にお目にかかるので、知っておいた方がよいかと思われます。

お礼

ご返答ありがとうございます。積分評価がかなり苦手ですので、補足までしていただき、勉強になりました。Jordanの補助定理も一度確認しておきたいと思います。どうもありがとうございました。