ダイポールアンテナの放射電力について

質問

ダイポールアンテナの放射電力について質問があります。z軸上に置かれた長さがLのダイポールアンテナに次に示す正弦波分布の電流I(z)が流れる時

I(z)=I0・sin(k(L-|z|)), -L≦z≦L

xz及びyz面における放射電界強度Eθは

Eθ＝ｊηI0exp(jkR)/(2πR)・((cos(kLcosθ)-coskL)/sinθ)

となります。ここで、η=120π,k=2π/λ, θはアンテナが置かれるするz軸からの角度です。そのEθの絶対値は

|Eθ|＝ηI0/(2πR)・((cos(kLcosθ)-coskL)/sinθ)

となります。この放射電力密度Prは

Pr=(1/2)Eθ(Hφ*)
=> Pr=|Eθ|^2/(2η) (Hφ=Eθ/η)

となります。φはx軸となす角度です。
よって|Eθ|をPrに代入すると

Pr=|Eθ|^2/(2η)
=ηI0^2/(8(πR)^2)・(cos(kLcosθ)-coskL)^2/(sinθ)^2

となり、放射電力Wは

W= ∫ 2πR^2・sinθ・Pr・dθ　(0～πまで積分)
=(ηI0^2/4π) ∫ (cos(kLcosθ)-coskL)^2/sinθ・dθ　
(0～πまで積分)

ここでcosθ=tとおいて置換積分を行うと

W = (ηI0^2/4π) ∫ ((cos(kLcosθ))^2 - 2coskLcos(kLt) - (coskL)^2)/(1-t^2)・dt　(-1～1まで積分)

に置き換えられます。ここで

∫　(cos(kLcosθ))^2 / (1-t^2)・dt　(-1～1まで積分)

の積分は参考文献にあり分かったのですが

∫　cos(kLt)/ (1-t^2)・dt　(-1～1まで積分)
∫　1/ (1-t^2)・dt　(-1～1まで積分)

の二つの積分が分からなくて困っています。
途中まで積分計算は大丈夫だと思います。
ちょっと式が見にくくなってしまい、申し訳ございません。
回答の方、何卒よろしくお願いいたします。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

質問を読み違えていました。
結論は「指摘の積分は考える必要はない」です。
というのは今回例は半波長空中線なのでk=2π/λ、2L=λ/2だからcoskL=cos(π/2)=0だからです。

こんな所に余弦積分関数（知らなかったけど）やオイラーの定数が出てくるとは。
なお、下記の積分は独立で考えるといすれも発散すると思います。
∫　cos(kLt)/ (1-t^2)・dt　(-1～1まで積分)
∫　1/ (1-t^2)・dt　(-1～1まで積分)

回答No.2

endlessriver

失礼しました。m(_ _)m下記は収束するようです。
∫　cos(kLt)/ (1-t^2)・dt　(-1～1まで積分)

お礼

回答ありがとうございます。
実はアンテナの勉強を始めたのが最近です。

どうやらWをLという変数を用いたままで一般化することは出来ないんですね。
確かにどの参考書みても
Eθ＝ｊηI0exp(jkR)/(2πR)・((cos(kLcosθ)-coskL)/sinθ)
の時点でL=λ/2を代入していたので、どうしてLのままで計算をしていかないのかなと不思議に思っていました。
ありがとうございました。