逆三角関数について

質問

下の問題がわからないです。＞＜
範囲の指定外の答えがでてそこからどうやって範囲内の答えになったのかがわかりません。
公式を使うのならなぜその公式を使うのかとかわかりやすい解説をお願いします。
（1）Sin^-1（sin8π/7）
（2）Cos^-1（cos8π/7）

答え
（1）-π/7
（2）6π/7

回答No.4

info222_

（1）
y=Sin^-1（sin(8π/7)） …(※1) とおくと逆関数の定義から
　sin(y)=sin(8π/7)=sin(π+π/7)=-sin(π/7)=sin(-π/7)

Sin^-1の定義と値域から　-π/2≦y≦π/2, -1≦sin(y)≦1 なので
　y=-π/7
(※1) より
　Sin^-1（sin(8π/7)）=-π/7

（2）
y=Cos^-1（cos(8π/7)）…(※2) とおくと逆関数の定義から
　cos(y)=cos(8π/7)=cos(π+π/7)=-cos(π/7)=cos(π-π/7)=cos(6π/7)

Cos^-1の定義と値域から　0≦y≦π, -1≦cos(y)≦1 なので
　y=6π/7
(※2) より
　Cos^-1（cos(8π/7)）=6π/7

となり、(答)と一致します。

>答え
>（1）-π/7
>（2）6π/7

逆三角関数の定義域と値域について復習して置いてください。
なお、三角関数の逆関数は主値　Sin^-1(x), Cos^-1(x), Tan^-1(x)　をとることで1:1の対応関係を持たせ逆関数を定義しています。逆三角関数を主値の範囲で定義しますが、習いたての最初だけ「Sin^-1(x), Cos^-1(x), Tan^-1(x)」と書きますが、一般的には同じ意味で先頭を小文字にした「sin^-1(x), cos^-1(x), tan^-1(x)」を使うことの方が多いです。
参考URL

参考URL：

http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/SHIBAURA/2010/calc1/lecture2.pdf

回答No.3

spring135

Sin^-1（x),Cos^-1（x)はsin^-1（x),cos^-1（x)の主値と呼ばれるもので

各々-Π/2≦Sin^-1（x)≦Π/2, 0≦Cos^-1（x)≦Πの間に入る値を示します。

（1）ｓin^-1（sin8π/7）＝8π/7, 8π/7±2nπ, -π/7, -π/7±2nπ (nは整数）という無限の解がありますが

-Π/2とΠ/2との間に入るのは-π/7だけ、これをSin^-1（sin8π/7）と書きます。

（2）cos^-1（cos8π/7）＝8π/7, 8π/7±2nπ, -8π/7, -8π/7±2nπ (nは整数）という無限の解がありますが

0とΠとの間に入るのは,-8π/7+2π(n=1)=6π/7だけ、これをCos^-1（cos8π/7）と書きます。

補足

（1）ｓin^-1（sin8π/7）＝8π/7, 8π/7±2nπ, -π/7, -π/7±2nπ (nは整数）はどうやって出したのですか？
（2）cos^-1（cos8π/7）＝8π/7, 8π/7±2nπ, -8π/7, -8π/7±2nπ (nは整数）はどうやって出したのですか？
-8π/7+2π(n=1)=6π/7はなぜ2π足してるのですか？

なかなか理解ができなくてすみません。

回答No.2

178-tall

アークサイン（逆正弦関数）の「定義」を知らんと、答案にたどり着けぬでしょうネ。
　　↓
たとえば参考 URL などにて、チャンと把握して…。

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/arcsin.html

回答No.1

f272

図を見ればわかるでしょ。
sinの場合は右半分に移動，cosの場合は上半分に移動する。