三角関数の合成

質問

問題：０≦θ≦πの範囲のとき、sinθ+cosθ＝tとおいた時の、tの値の範囲

自分で考えた結果、t＝sinθ+cosθ＝√2sin(θ＋π/4)

０≦θ≦πなので、π/4≦θ＋π/4≦5/4*π　←ここまでは分かったんです
が、ここからどうやってtの値の範囲を出すか分かりません。

ちなみに、答えは－1≦t≦√2です。

教えてください

回答No.2

KRASU · ベストアンサー

sinの値を考えればわかりますよ

単位円って習いましたよね?
一応習ったとして話しを進めます^^;

x=θ+π/4としましょう
とりあえずπ/4≦x≦5π/4の範囲を考えて見ましょう
わかりにくかったら紙に円を書いてみてください

まずπ/4
πが円の左端ですからその1/4、つまりちょうど右斜め上ですね
それから5π/4なのでπ+π/4、つまりこちらはちょうど左斜め下の位置ですね

この右斜め上から左斜め下まで、円周をなぞってみてください。sinがy座標っていうのは習いましたよね？では、そのなぞったところで一番上と一番下、つまりこの場合のsinの最大値と最小値を考えてみましょう。

最大値は円の一番上の頂点ですね。単位円は半径が１なので最大値は１になります
最小値はこの場合左斜め下ですね。これはならったと思いますが-√2/2です
よって-√2/2≦x≦1です

それと最後に√2sin(θ+π/4)の√2をかけるのを忘れないでください
-√2×√2/2＝1ですから、
-1≦t≦√2となります

お礼

ありがとうございます。大変よく分かりました。三角関数完全に忘れてました。おかげで、思い出せました。

回答No.1

noname#20377

sin(θ＋π/4)の最大値って
π/4≦θ＋π/4≦5/4*π
だから
sinX(π/4≦X≦5/4*π)の最大値と同じ訳だ。

図を書いてみると解るけど

-1/√2<sinX<1だ

だから

-1≦√2sinX≦√2
-1≦t≦√2

#...回りくどく書いて却って解りにくくなった気がする最近このパターン多いんだよな・・・orz

お礼

ありがとうございます。でも、知りたいとこがわかりにくいです。聞いておきながらスイマセン。