三角関数

質問

関数y=3cos^2θ-8snθcosθ+5sin^2θ(0≦θ≦π/2)の最大値、最小値を求めよ。

という問題なんですが
解説に
=3-4*2sinθcosθ+2sin^2θ
=3-4sin2θ+2*1-cos2θ/2・・・(1)
=4-(4sin2θ+cosθ)・・・(2)
=4-√(17)sin(2θ+α)
・・・

と書いてあるんですが
(1)と(2)の変形はどうやっているんでしょうか？

あと
積和の公式sinθcosθ=1/2{sin(θ+θ)+sin(θ-θ)｝の
sin(θ-θ)の部分はsin0になるんですがsin0=0でいいんでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

合成か、ちょつと考え難いところがあるので余り薦めない。
では、どうするか？

(2)より、sin2θ＝a、cos2θ＝bとすると、a＾2＋b＾2＝1　‥‥(3)
又、0≦θ≦π/2より0≦2θ≦πであるから、0≦a≦1、-1≦b≦1　‥‥(4)
y＝4-4sin2θ-cos2θ＝4-4a-bであるから、(3)と(4)の条件の下でb＝-4a＋4-y　‥‥(5)　の値の範囲を定めると良い。
(3)と(4)をab平面上に図示すると、(3)の円の右半分だから、最小となるのは(5)が点（0、-1）を通る時、即ち　y＝5.
最大値は、(3)と(5)が接する時であるから、原点と直線との距離の公式を使うと（判別式でも良い）y＝4＋√17である。このとき、a＝4/√17.
以上から、5≦y≦4＋√17。