三角比（1/sinθ+1/cosθの値を求める 他）

質問

（問題）
(1)sinθ+cosθ=1/√3(0°≦θ≦180°)の時
　1/sinθ+1/cosθの値は？
　答えは -√3
(2)sinθ・cosθ=-1/4(90°＜θ＜180°）の時
　tanθ+1/tanθの値は？
　答えは -4

(1)は公式　sin^2θ+cos^2θ=1　を使用すれば解けるような気がするのですが・・・。当てはめ方がよく解りません。またθの範囲が何故このように設定されているのかも解りません。(θの範囲が変化すると答えにどう影響してくるのでしょうか？)
(2)は何の公式から答えが導かれているのかすら、見当がつきません。また(1)と同じくθの範囲が何故このように設定されているのでしょうか？

是非教えて下さい！

回答No.3

debut · ベストアンサー

（２）はＮｏ１の方の方法でもよろしいですし、次のような計算でも
求められます。

　tanθ+1/tanθ=sinθ/cosθ+cosθ/sinθ　を通分し
　　　　　　　=sin^2θ/(sinθcosθ)+cos^2θ/(sinθcosθ)
　　　　　　　=(sin^2θ+cos^2θ)/(sinθcosθ)
　　　　　　　=1/(sinθcosθ)
　　　　　　　=1÷(-1/4)
　　　　　　　=-4
なお、θの範囲に関してはこの場合の答えには直接関係しないと思います。
これが、もしθの値を求めるとか、他の式に関連づけてその最大値とかを
求めるとなると大いにかかわってきますが・・

お礼

計算方法を教えていただき、ありがとうございました。
今回の場合、θの範囲は、あまり関係ないのですね。
問題にあえて範囲が書かれていると、何かあるのでは？と考えてしまいます。考えすぎですね（笑）

回答No.2

situmonman

>> Ｘsinθcosθ=sin^2θ+cos^2θ=1に何故なるのかが解らないのです。

tanθ=sinθ/cosθという公式を使ってtanθ+1/tanθを変形すると、
tanθ+1/tanθ=sinθ/cosθ+cosθ/sinθとなります。
これに、sinθ・cosθをかけると
sinθ・cosθ・sinθ/cosθ　＋　sinθ・cosθ・cosθ/sinθ
= sin^2θ+cos^2θ = 1
となります。最後の等式は公式を使ってます。
ここで、sinθ・cosθ=-1/4という条件を使えば、上式は
(tanθ+1/tanθ)×sinθ・cosθ=(tanθ+1/tanθ)×(-1/4)=1
となり、最後の等式の両辺に-4をかけて
tanθ+1/tanθ＝-4
となります。

お礼

こんばんは。
ご指摘の
（公式）tanθ=sinθ/cosθ　で解けました。
参考書にもありましたが、これが使えるということを見落としていました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

situmonman

答え
(1)sinθ+cosθ=1/√3の両辺を２乗すると
sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1+2sinθcosθ=1/3
∴sinθcosθ=-1/3
∴1/sinθ+1/cosθ=(sinθ+cosθ)/(sinθcosθ)=1/√3/(-1/3)=-√3
(2)tanθ+1/tanθ=Xとすると
Xsinθcosθ=sin^2θ+cos^2θ=1=X(-1/4)
∴X=-4

θの範囲の根拠はよくわかりません。すいません。

補足

こんばんは。
(1)は、解りました。
(2)なのですが、
tanθ+1/tanθ=Ｘと置き、Ｘsinθcosθ=・・・と計算していくのは、どうしてでしょうか？
Ｘsinθcosθ=sin^2θ+cos^2θ=1に何故なるのかが解らないのです。
１から数学を復習しているような状態ですので、詳しい説明を宜しくお願い致します。