積分

質問

問題）Find the area under the graph of y = e^(2x) from x = 0 to x = 1

　∫[1,0] e^(2x) dx という式を立てるまでは分かるのですが　∫　e^(2x) dx をどうやって解いたらいいのか分からなくて困っています。
本には½ e^(2x)　+ k　となっています。
½ e^(2x)　を微分したらe^(2x) になるのはわかるのですがその逆が出来ないです。

∫　e^(2x) dx のやり方を教えて頂けますか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

定積分の上限と下限の描き方が逆です。[from, to]、[下限,上限]の順で書くようにしてください。

[考え方1]　積分公式として憶える。
　F(x)=∫f(x)dxのとき ∫f(ax)dx=(1/a)F(ax)+k (kは任意の積分定数) …(※)
本のやり方です。
　F(x)=∫f(x)dx=∫e^x dx=e^x なので公式(※)より
　∫[0,1] f(2x) dx =[(1/2)F(2x)][0,1]=[(1/2)e^(2x)][0,1]
　=(1/2)(e^2-e^0)=(e^2-1)/2

[考え方2] 置換積分法を使う。
　2x=tとおくと　dx=)1/2)dt
　e^(2x)=e^t
　x:[0,1]　⇒　t:[0,2]
であるから
　∫[0,1] e^(2x)dx=∫[0,2] e^t (1/2)dt
　=[(1/2) e^t][0,2]
　= (1/2)(e^2 -1)

[考え方3] 積分は微分の逆操作と憶える。
　F(x)=∫f(x)dx+k(kは任意定数) ⇔ f(x)=F'(x)=d/dx F(x)
　等価関係の操作であることを意味する。
例では
　d/dx e^(2x)=e^(2x)*(2x)'=2e^(2x)
　e^(2x)=(1/2)d/dx e^(2x)=d/dx (1/2)e^(2x)
　⇔ ∫e^(2x) dx=(1/2) e^(2x) +k
積分範囲[0,1]をつけて
　∫[0,1] e^(2x) dx=[(1/2)e^(2x)][0,1]
　=(1/2) (e^2 -e^0)=(1/2) (e^2 -1)

お礼

＞定積分の上限と下限の描き方が逆です

ご指摘有難うございます、助かります。

沢山の考え方を丁寧に教えて頂いて感謝致します。
こんなに違う考え方が出来るのは本当に羨ましいです。

考え方２はあるu-tubeで学んだばかりなのに気が付きませんでした。。。

どれも勉強になります、有難うございました。