積分の微分の方法を教えてください。

質問

Fn(x) = ∫[to ∞ from 0]{(t-x)^n・e^-t}dt
という式をもとに、dFn(x)/dxをときたいのですが全くわかりません。

dFn(x)/dt ×　dx/dtにすれば解けそうな気はするんですが、
的外れでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>F_n(x) = ∫[to ∞ from 0]{(t-x)^n・e^-t}dt
dF_n(x)/dx=∫[to ∞ from 0] [{d((t-x)^n)/dx}・e^(-t)]dt
=∫[to ∞ from 0] [{-n(t-x)^(n-1)}・e^(-t)]dt
=-n∫[to ∞ from 0] [{(t-x)^(n-1)}・e^(-t)]dt
=-n F_(n-1)(x)
となります。

＞dFn(x)/dt ×　dx/dtにすれば解けそうな気はするんですが、
＞的外れでしょうか？
間違いです。tの積分ではxは定数の扱いで、xから見ればtの定積分はxと無関係です。それゆえ積分と微分の順序の入れ替えが可能です。

お礼

非常にわかりやすい回答ありがとうございました！
本当に助かりました。
知りたい答えがぴったりでていて、すっきり問題が解けそうです。

回答No.3

info22

#1,2です。
おまけです。
F_0(x)=1→{F_0(x)}'=0
F_1(x)=1-x→{F_1(x)}'=-1
F_2(x)=2-2x+x^2→{F_2(x)}'=-2(1-x)
F_3(x)=6-6x+3(x^2)-x^3→{F_3(x)}'=-3(2-2x+x^2)
F_4(x)=24-24x+12(x^2)-4(x^3)+x^4→{F_4(x)}'=-4{6-6x+3(x^2)-x^3}
F_5(x)=120-120x+60(x^2)-20(x^3)+5(x^4)-x^5
→{F_5(x)}'=-5{24-24x+12(x^2)-4(x^3)+x^4}
…
となってA#1で導出の関係式
dF_n(x)/dx==-n F_(n-1)(x)
を満たしていることが確認できます。

＃微分と積分の入れ替え可能性は積分が微小区間dtの関数値の総和となっていることに起因します。

回答No.2

info22

#1です。
nの記述がありませんが、nは1以上の自然数なら問題ありません。
しかし、nがゼロを含む整数を取りうるなら、n=0の場合は別途積分して下さい。
F_0(x)=∫[to ∞ from 0]{e^(-t)}dt=[-e^(-t)] [to ∞ from 0]=1