微分積分

質問

微分と積分について教えてもらいたいのですが、
微分が
1,ｙ＝cosx/(1-x^2)
2,ｙ＝e^<ktan^(-1)x^2>
積分が
3,ｙ＝（x-3)^/x^2
4,ｙ＝1/(3+4x^2)^(1/2)+1/(3-16x^2)^1/2　
5,∫x/(1+2x^2)dx (2→3)
6,∫e^(-x)sinxdx　　(0→π/2)

1,は、{2xcosx-(1-x^2)sinx}/(1-x^2)^2
3,は、x-3logx-9/x
5,は、(log19-log5)/4
であっているでしょうか？
2,4,6,はまったくわかりません。解法を教えてください。
また、数式の入力が間違っているかもしれませんので、不明な場合や明らかに違う場合には、ご指摘をお願いします。

回答No.3

kajina · ベストアンサー

補足ありがとうございます。＃２です。
６番はそれであっています。
３番は(x-3)^2 /x^2 =(x^2 -6x +9)/x^2 =1-(6/x)+9/x^2
ですから、これを一つづつ不定積分してください。
４番は以前のアドバイスの後半は「1/(x^2 +A)^{1/2}の不定積分がlog |x+(x^2 +A)^{1/2}|+C」でした。ごめんなさい。^{1/2}を落としていました。
同じようなことなので片方だけやります。
∫1/√(3-16x^2)dx
=∫1/√3(1-(4x/3)^2)dx
=(1/4)sin ^{-1} (4x/√3)
間違えたお詫びという意味を込めて後半の公式の導出を書いておきます。
√(x^2 +A):=t-xとおくとx^2 +A=t^2 -2tx +x^2
より、x=(t^2 -A)/2t, dx={(t^2 +A)/(2t^2)}dt
となることより√(x^2 +A)=(t^2 +A)/(2t)
あとは計算してみてください。

お礼

すっかり遅くなってしまって申し訳ありません。
非常に助かりました。回答ありがとうございました。

回答No.2

kajina

１番はあっているようです。
２番は(tan^{-1}x)'=1/(1+x^2)を知っている（または分かれば）合成関数の微分ですから、
y'=e^{k tan^{-1}x^2}(k tan^{-1}x^2)'
=e^{k tan^{-1}x^2}(k 2x/(1+x^4))
=2kxe^{k tan^{-1}x^2}/(1+x^4).
３番は分子の^のあとがないので分からないです。
（あなたの解答になるためにはなんだったのか暑くて考えていません。ごめんなさい）
４番は(sin^{-1}x)'=1/(1-x^2)^{1/2}と1/(x^2 +A)の不定積分がlog |x+(x^2 +A)^{1/2}|+Cとなることを知っている（またはわかっていれば）答えが出ます。
５番は打ち間違いだと思いますが、答えは
(log 19-log 9)/4になります。
６番は＃１さんのおっしゃるとおり２回部分積分なさってください。どちらを部分積分してもいいですね。

まとめると、
・不明な点は
３番の表記がよくわからないです
・理解不足と思われるのは
逆関数の積分などの公式になれていない(2)(4)
部分積分(6)
といったかんじかな。

お礼

６番は、-(e^π/2-1)/2であっているでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。遅くなってすいません。
３番は、^2です。
４番、６番も教えていただけないでしょうか？

回答No.1

OGUMAN

私が分かったとこだけ書くと
とりあえず１の答えの頭にマイナスがつきますね。
あと6は部分積分二回やれば同じ項が出てきてなんとかなりますね。
３は表記が自分には分かりません。
残りはちょっと公式がないと分かりません。なんとか教科書見て頑張って下さい。

補足

回答ありがとうございます。
３は＾2です。
６の部分積分二回の方法を教えてください。