積分

質問

初歩的な質問ですが教えてください。
1/e^xをxで積分すると答えはlog|e^x|でしょうか?
それとも-e(^-y)でしょうか？逆に微分したら後者がそのようになったのですが。。

もうひとつ。
次の微分方程式の一般解を求めよ。
・(1+x^2)y'=xy
log|y|=1/2log|1+x^2|+c
ここまできたのですがこのあと、両辺を２をかけて
log|(y^2)/(1+x^2)|=Cという形にもってくるのか、
それともlog|y/(1+x^2)^1/2|=Cともってくるのかどっちなのでしょうか？？
それぞれ違った答えがでてきたのですが・・・　
お願いします。

回答No.2

snobbery

最初のほうは、
∫1/e^x dx = ∫e^(-x) dx = -e^(-x)+c

次は、

log|y|=1/2log|1+x^2|+c
log|y|=log|1+x^2|^(1/2)+c log e
log|y|=log|1+x^2|^(1/2)+log e^c
ここで、e^c=Cと置く
log|y|=log|1+x^2|^(1/2)+log C
log|y|=log|1+x^2|^(1/2)×C

両方logをとって

y=C(1+x^2)^(1/2)

と、こんな感じでしょうか。

回答No.1

kohta83

>>1/e^xをxで積分すると答えはlog|e^x|でしょうか?
それとも-e(^-y)でしょうか？

-e^(-x)+c
だと思います。y=-xとして置換積分で解きました。
ブランクあるのでベストな解法かどうかは自信ありませんが。

>>log|(y^2)/(1+x^2)|=Cという形にもってくるのか、
それともlog|y/(1+x^2)^1/2|=Cともってくるのかどっちなのでしょうか？？

どちらでも一緒だと思います。違った答えってどういう意味ですか？