正則同相な関数について

質問

Gauss平面C上の
任意の正則同相 f:C→C は一次式で表わされることを示せ。

です。
何を利用すればよいかもわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

#1です。修正します。
複素数平面C上で
f:C→C
を任意の正則同相写像とする
f(z)は正則だから
f(z)=Σ_{n=0～∞}(a_n)z^n
とz=0でテイラー展開できる

任意の自然数nに対して
(n<m)&(a_m≠0)となる自然数mが存在する
と仮定する
a_n≠0となる項が無数にあるから
f(1/z)=Σ_{n=0～∞}(a_n)/z^n
とすると
z=0はf(1/z)の真性特異点となる
Weierstrassの定理から
lim_{n→∞}z_n=0
lim_{n→∞}f(1/z_n)=f(0)
となるz_nが存在する
逆写像f^{-1}が連続だから
±∞=lim_{n→∞}1/z_n=0
となって矛盾する
から
ある自然数nが存在して
n<mとなる全ての自然数mに対してa_m=0となる
fは単射だから
f(z)≠定数
a_n≠0となる最大自然数nがあり
f(z)=Σ_{k=0～n}(a_k)z^k
となる
f(0)=a_0=bとすると
f(z)-b=Σ_{k=1～n}(a_k)z^k
となる
r=1+Σ_{k=1～n-1}|a_k|/|a_n|
g(z)=(a_n)z^n
h(z)=Σ_{k=1～n-1}(a_k)z^k
とすると
f(z)-b=h(z)+g(z)
で
|z|=r上で
|z|=r>1
1/|z|<1
だから
|h(z)|/|g(z)|
=|Σ_{k=1～n-2}(a_k)/z^{n-1-k}+a_{n-1}|/|(a_n)z|
≦Σ_{k=1～n-1}|a_k|/(|a_n||r|)
<1
|z|=r上では
|g(z)|>|h(z)|
が成り立つから
Roucheの定理から
f(z)-b=g(z)+h(z)
の|z|≦rでの零点の個数N0(f(z)-b)
g(z)=(a_n)z^n
の|z|≦rでの零点の個数N0(g)
に対して
N0(g)=N0(f(z)-b)
となる
ところが
g(z)=(a_n)z^n
はz=0でちょうどn個の零点をもつから
N0(g)=n
だから
N0(f(z)-b)=n
f(z)-bは単射だから
n=N0(f(z)-b)=1
n=1
↓
f(z)=b+(a_1)z
∴
fは1次式で表される

回答No.1

muturajcp

複素数平面C上で
f:C→C
を任意の正則同相写像とする
f(0)=bとする
fは単射だから
z∈Cで
f(z)-b≠定数
だからf(z)はz=0でテイラー展開できるから
f(z)-b=g(z)z^n………(1)
とかける。
ただしg(z)z^nはテイラー展開のzの1次以上の
0でない項をまとめたもので
nは自然数、g(z)は正則でg(0)≠0であり
g(0)=aとする。
fは単射だから
任意のzに対してg(z)≠0となる
任意の正実数r>0に対して
Cr={z∈C;|z|=r}
として
tが0から2πまで変化するとき
z=re^{it}
f(z)-bが原点を回る回数を
A(Cr,f(z)-b)
とすると偏角の原理から
A(Cr,f(z)-b)=n
fが単射だから
n=A(Cr,f(z)-b)=1………(2)
これと(1)から
f(z)-b=g(z)z………(3)
となる
ここでg(z)≠定数………(4)
と仮定すると
g(z)=a+h(z)z^k………(5)
とかける
ただしkは自然数、h(z)は正則でh(0)≠0である
だから(3)と(5)から
f(z)-b=az+h(z)z^{k+1}………(6)
となる
あるr>0が存在して
|z|≦r→h(z)≠0
だから
Cr={z∈C;|z|=r}
として
tが0から2πまで変化するとき
z=re^{it}
h(z)z^{k+1}が原点を回る回数を
A(Cr,h(z)z^{k+1})
とすると偏角の原理から
A(Cr,h(z)z^{k+1})=k+1………(7)
となる
|a|<|h(z)z^k|となるzがあると仮定すると
Roucheの定理と(2),(6),(7)から
1=A(Cr,f(z)-b)=A(Cr,h(z)z^{k+1})=k+1
0<k=0となって矛盾するから
任意のz∈Cに対して
|a|≧|h(z)z^k|
となる
|z|=r上で
|h(z)|≦|a|/r^k
となるから、最大絶対値の原理から
|z|≦rにおいても
|h(z)|≦|a|/r^k………(8)
が成り立つ
|z|>rのときは
|h(z)|≦|a|/|z|^k<|a|/r^k
だからこれと(8)から任意のz∈Cに対して
|h(z)|≦|a|/r^k………(9)
となって
h(z)は有界だから
リュービルの定理から
h(z)=定数=h(0)
だから
z=1+|a|/|h(0)|
とすると
|a|/|h(0)|<z=|z|<|z|^k
|a|<|h(0)z^k|=|h(z)z^k|
となって(8)に矛盾するから(4)の仮定が否定され
g(z)=定数=a
となって(3)から
f(z)-b=az
↓
f(z)=az+b
∴a=g(0)≠0だから
fは1次式で表される