同相写像についての問題がわかりません

質問

Cを複素数体,C⊃Uは単連結な開領域とします。
U⊃Fを有界な閉集合で閉包cl(F)⊂Uとします。

この時,リーマンの写像定理から, f:U→{z∈C;|z|<1}なる同相写像fが存在しますが,

0<∃r<1;f(F)⊂{z∈C;|z|≦r}となる事を示したく思ってます。

どうすればいいのでしょうか?

回答No.1

jcpmutura

N=(全自然数)
とすると
f(F)⊂f(U)={z∈C;|z|<1}=∪_{n∈N}{z∈C;|z|<1-1/n}
F⊂U=f^{-1}({z∈C;|z|<1})=f^{-1}(∪_{n∈N}{z∈C;|z|<1-1/n})

Fは有界閉集合
だから
Fはコンパクト
で
{z∈C;|z|<1-1/n}は開集合でfは連続だから
f^{-1}({z∈C;|z|<1-1/n})は開集合
F⊂∪_{n∈N}f^{-1}({z∈C;|z|<1-1/n})
だから
{f^{-1}({z∈C;|z|<1-1/n})}_{n∈N}
はFの開被覆
だから
有限部分開被覆があって
F⊂∪_{k=1～m}f^{-1}({z∈C;|z|<1-1/n_k})}
となるから
r=max_{k=1～m}{1-1/n_k}
とすれば
F
⊂∪_{k=1～m}f^{-1}({z∈C;|z|<1-1/n_k})}
=f^{-1}({z∈C;|z|<r})
⊂f^{-1}({z∈C;|z|≦r})

F⊂f^{-1}({z∈C;|z|≦r})
となるから
f(F)⊂{z∈C;|z|≦r}

お礼

なるほど納得です。どうも有難うございます。