正則関数について

質問

複素数C上の正則関数
f:C→C
がCにおいて一様連続であるとする。
このとき,fは高々１次の多項式であることを示せ。

という問題です。
リュービルの定理を使うんだろうということはわかるのですが
一様連続性の利用の方法がいまいちわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

複素数C上の正則関数
f:C→C
がCにおいて一様連続であるとすると
任意のε>0に対して
あるδ(ε)>0が存在して
|z-a|<δ(ε)となる任意の複素数z,aに対して
|f(z)-f(a)|<ε
だから
あるδ(1)>0が存在して
|z-a|<δ(1)となる任意の複素数z,aに対して
|f(z)-f(a)|<1
となる。
任意の複素数aに対して
g:C→C
g(a)=f'(a)
z≠aのときg(z)={f(z)-f(a)}/(z-a)
とgを定義すると
lim_{z→a}g(z)=lim_{z→a}{f(z)-f(a)}/(z-a)=f'(a)=g(a)だから
g(z)は正則
|z-a|=r<δ(1)上では
|g(z)|=|f(z)-f(a)|/r<1/r
となるから,最大絶対値の原理から,|z-a|<rにおいても
|g(z)|<1/r
が成り立つ
ここでr→δ(1)とすれば
|z-a|<δ(1)において|g(z)|≦1/δ(1)
だからM=1/δ(1)とすると
|g(a)|=|f'(a)|≦M
aは任意だから任意の複素数zに対して
|f'(z)|≦M
となって
f'(z)は有界だから
リュービルの定理から
f'(z)=定数
だからf'(z)=Bとすると
f(z)=∫f'(z)dz=∫Bdz=B∫dz=Bz+C
f(z)=Bz+C
fは高々1次の多項式である