同相であることの証明

質問

原点中心半径１の球の球面とユークリッド平面に一点を加えた集合は同相であることを示します。
いわゆる、立体射影というやつです。

まず、球面の北極点(0,0,1)を除いた集合から、ユークリッド全平面への写像が、
立体射影の方法で与えられていて、これが同相であることは認めていいとします。

次に、ユークリッド平面上にない、無限遠点∞をユークリッド平面に加えた集合を考え、
球面からその集合への写像Fを、ｆを拡張し、F((0,0,1))=∞　という風に設定します。
このとき、Fが(0,0,1)で連続であることを示したいのですが、やり方がわかりません。

どなたか詳しく教えていただけないでしょうか。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

補足質問の要点は、
開部分空間の開集合は、母空間の開集合、
閉部分空間の閉集合は、母空間の閉集合だけれども、
f^-1(K) は、開部分空間 S^2＼{p} の閉集合だから、
S^2 の閉集合だとは限らないじゃないか
…ということですか？

K は、単なる閉集合ではなく、コンパクトです。
K を覆うひとつの有限開集合の閉包を C と置けば、
f^-1(K) は、閉部分空間 f^-1(C) の閉集合なので、
S^2 の閉集合になります。

これを使って、補足文中の証明より、
F は p でも連続と言えますね。

お礼

補足回答ありがとうございます。

f^-1(K)がS^2にてコンパクトであることを示せました。
S^2はハウスドルフ空間なので、これよりf^-1(K)
がclosed setであることもいえました。

回答No.1

alice_44

一点を加えれば同相になるというものじゃないです。
同相になるように、「一点」の近傍を決めなきゃならない。
それが可能だということが証明できるだけです。

球面上での北極点の近傍系を F で写像したものを
ユークリッド平面＋一点での ∞ の近傍系と定義すれば、
連続写像の定義よりただちに、F は連続となります。

補足

何度も回答ありがとうございます。
R^2∪｛∞｝の位相を、
｛R^2の開集合系｝∪｛(R^2∪｛∞｝)＼K｝
ただし、KはR^2のあらゆるコンパクトな集合

という風に定めれば、これはちゃんと位相になるらしいのですが、この位相の下、pでFがちゃんと
連続になるのが示せないのです。

おそらく、
『球面上での北極点の近傍系を F で写像したものを
ユークリッド平面＋一点での ∞ の近傍系と定義すれば』という部分を解決するためだと思うのですが、
具体的に、この位相でFがｐで連続であることの
証明を、教えていただけないでしょうか。

とりあえず自分の考えを書いてみます。
定義にのっとって、
F(p)の任意の近傍Uに対し、
pの近傍Vが存在して、F(V)⊂Uとなることを示せばいいですよね。
UがF(p)の近傍なので、
R^2∪｛∞｝の開集合V'が存在して、
F(p)=∞∈V'⊂U
となり、
これから
V := F^-1(V')⊂F^-1(U)
だから、p∈Vで、
F(V)⊂Uであります。

このVがS^2のopen setであればいいのですが、それを示すことができないのです。

V'は、R^2∪｛∞｝の位相の定義より、
（V'は∞を含んでいるから、）
V'=(R^2∪｛∞｝)＼Kと表せます。

だから、
F^-1(V)=F^-1((R^2∪｛∞｝)＼K)
=S^2＼F^-1(K)であり、
F^-1(K)はf^-1(K)と同じだから、
Kがコンパクト、つまり有界閉集合で、
f^-1の連続性よりf^-1(K)も閉集合。

だから、S^2＼F^-(K)は開集合である。
みたいにテキストにかいてあるのですが、
なぜこれがいえるのでしょうか。
f^-1(K)は、S^2＼｛(0,0,1)｝の閉集合なんだからといって、S^2の閉集合であるとはいえないですよね。

それとも、この位相のいれ方が間違っているのでしょうか。何か混乱しているところがあればごめんなさい。