締切済み

曲面論・第二基本形式について

2014/07/07 07:14

『曲線と曲面　-微分幾何的アプローチ-』（梅原雅顕・山田光太郎　共著）を教科書に、曲面論の第二基本形式について学習していたのですが、つまずいてしまった箇所があるので質問させて下さい。この本における第二基本形式IIは、外微分を用いて次のように定義されています。 ---------------------------------------------- 曲面の助変数表示p(u,v)が与えられた時、 II :＝ -dp・dν を第二基本形式という。 ※ただしν(u,v)は、点p(u,v)での単位法線ベクトルを表し、　　ν(u,v) := ((∂p/∂u)×(∂p/∂ｖ)) / |(∂p/∂u)×(∂p/∂ｖ)| と定義される ---------------------------------------------- この定義の後の文章を読み進めていくと、「第二基本形式は、（ヤコビ行列式が）正の座標変換で不変であり、（ヤコビ行列式が）負の座標変換で符号が逆になる」と書かれていました。この文章が個人的に少しひっかかっています。このテキストでは、第一基本形式の内容を扱う際に、「外微分は、座標変換で不変である」ということが示されていました。もしそうであれば、第二基本形式の定義式の中にあるdp、dνはそれぞれ座標変換で不変であり「第二基本形式は、（ヤコビ行列式が）正の座標変換でも負の座標変換でも不変である」となるのではないでしょうか。同分野の参考書を何冊か少し読んでみたのですが、やはり第二基本形式は"正の座標変換"で不変らしく、おそらく自分の考え方に何らかの間違いがあると思われるのですが、よろしければ教えて頂けないでしょうか？ ※上記文章で情報が不足でしたら是非お伝え下さい。補足させて頂きます。