トーラスのガウス写像の問題
トーラスのガウス写像はトーラス上のx(u,v)を球面のパラメーター表示の-x(u,v)
に対応させます。この事を確かめ、ちょうど同じ(u,v)で表される理由を考えて
ください。
という問題で、テキストの解答には
トーラスのxu(uで偏微分)、xv(vで偏微分)と球面のxu,xvはそれぞれ長さは違い
ますが、平行で、したがって、同じ接平面を定め、同じ単位法ベクトルを定めま
す。球面ではガウス写像は-1倍です。
と書かれていますが、テキストを見ながら自分なりに解答してみました。間違い
があればご指摘、訂正をお願いします。
＜単位球面＞
Ｘ(u,v)=
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu
Ｘu(u,v)=
-sinu・cosv
-sinu・sinv
cosu
Xv(u,v)=
-cosu・sinv
cosu・cosv
0
＜トーラス＞
xz平面上のz軸と交わらない円が生成する、z軸に関する回転軸をトーラスとい
い
ます。そのような円は、例えば、0＜r＜Rに対し、パラメーター表示
R+rcost
rsint
で与えられます。
したがって、トーラスのパラメーター表示は
Ｘ(u,v)=
(R+rcosu)cosv
(R+rcosu)sinv
rsinu
となります。―i)
u曲線はz軸を含む平面上の半径rの円です。
v曲線は水平面z=sinuに含まれる円です。
Ｘu(u,v)=
-rsinu・cosv
-rsinu・sinv
rcosu
Xv(u,v)=
-(R+rcosu)sinv
(R+rcosu)cosv
0
ですから、これらは直交し、1次独立で、i)は曲面のパラメーター表示を与えま
す。
以上より、トーラスのＸu,Xvと球面のＸu,Ｘvはそれぞれ長さは違うが、平行で
あることがわかる。
したがって、、同じ接平面を定める。
（定理 接ベクトル全体ＴＸ0SはＸu(u0,v0),Xv(u0,v0)を基底とする2次元線型
空間（平面）である。）
（定義 接ベクトル全体の作る線型空間ＴX0SをＸ0におけるＳの接平面と定め
る。）より
また、単位法ベクトルの公式
Ｎ(u,v)=Xu(u,v)×Xv(u,v)|/||Xu(u,v)×Xv(u,v)||より
球面の単位法ベクトルは、
Ｎ(u,v)=(-cos^2u・cosv+cos^2u・cosv-sinu・cosu・cosv^2-sinu・cosu・sin^2v)
/1・cosu
=(-sinu・cosu)/cosu
=-sinu
トーラスの単位法ベクトルは
Ｎ(u,v)={-rcosu(R+rcosu)sinv+rcosu(R+rcosu)sinv-rsinu(R+rcosu)cos^2v-rsinu
(R+rcosu)sin^2v}
={-rsinu(R+rcosu)}
=-sinu
よって同じ単位法ベクトルを定める。
ガウス写像はＸ(u,v)をN(u,v)に対応させる写像で、Ｘ(u,v)の変化ξとＮ(u,v)
の変化dN(ξ)が逆方向の時、ξ方向で、曲面が上昇するのだから、上昇分を測
る量として、
第二基本変形を
φ=-ξ・dN(ξ)で定める。
という定義から、トーラスのガウス写像はトーラス上のＸ(u,v)を球面のパラメ
ータ表示の-Ｘ(u,v)に対応させる事がわかる
補足
ありがとうございます！ ガウス曲率、平均曲率ともに定数になりました。 でも・・・ 「どっちなのかは，曲率がゼロかどうかで分かる」というのがよく分かりません・・・。 つまり曲率κを求めればいいのでしょうか？