相対論について教えて下さい。

質問

こんにちは、
相対論について、以下を教えて下さい。

質問１
ローレンツ変換は、x^2+y^2+z^2-w^2= x’^2+y’^2+z’^2-w’^2
と表せます。
不変量は、計量を使って
S^2=g11(x1)^2+ g22(x2)^2+ g33(x3)^2+ g44(x4)^2＋g12( x1x2)+ g13( x1x3)+ g14 (x1x4)+ g23( x2x3)+ g24 (x2x4)+ g34( x3x4)
と表せます。
この場合、ローレンツ変換は、斜交座標になるので、
S^2=g11(x1)^2+ g22(x2)^2+ g33(x3)^2+ g44(x4)^2= g11’(x1’)^2+ g22’(x2’)^2+ g33’(x3’)^2+ g44’(x4’)^2＋g12’( x1’x2’)
というふうになり、g11’等の計量は、速度によって変化しますが、下記ＨＰの行列式の値になると考えてよろしいでしょうか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%A4%89%E6%8F%9B

質問２
例えば、計量１を
g11＝g22＝g33＝g44＝75
g12＝g13＝g14＝g23＝g24＝g34＝0
とすると、不変量S^2は、
g11＋g22＋g33＋g44＝300
となります。
計量２を
g11＝g22＝g33＝g44＝60
g12＝g13＝g14＝g23＝g24＝g34＝10
とすると、不変量S^2は、
g11＋g22＋g33＋g44 ＋g12＋g13＋g14＋g23＋g24＋g34＝300
となります。
計量１と計量２は、同じ不変量なので、このような変換は有り得るのでしょうか？ローレンツ変換の場合は、上のように計算できますが、一般座標変の場合、どのような制限があるのでしょうか？
一般座標変の場合は、ローレンツ変換を満たしてなくても、問題ないのでしょうか？

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

座標変換で計量テンソルの行列式の符号は変わりませんので、
局所慣性系から座標変換をして、「計量１」または「計量２」のような行列式が正の計量テンソルになる事は決してありません。

>空間が湾曲している場合などは、非対角成分が０以外になるらしいですが、そのときの計量は、具体的にどのような値になるのでしょうか？

計量テンソルの各成分が「具体的にどのような値になる」かは具体的にどのような時空でどのような座標系を考えるかで変わってしまうので、時空や座標系を指定せずに「こういう値になる」なんて事は答えられるわけがないのですが、

多分、Kerr解(自転するブラックホールを記述するもの)のような例があればいいのですかね。ネットでもすぐ見つかると思うのでご自身で調べてみてください。

補足

お返事有難う御座います。

＞多分、Kerr解(自転するブラックホールを記述するもの)のような例が
＞あればいいのですかね。ネットでもすぐ見つかると思うのでご自身で調べてみてください。
シュヴァルツシルトの解を示しましたが、そのような特殊な世界のものを知りたい訳ではありません。重力はどこでもありますので、もっと身近な例を知りたいです。

＞座標変換で計量テンソルの行列式の符号は変わりませんので、
＞局所慣性系から座標変換をして、「計量１」または「計量２」のような行列式が
＞正の計量テンソルになる事は決してありません。

＞計量テンソルの各成分が「具体的にどのような値になる」かは具体的に
＞どのような時空でどのような座標系を考えるかで変わってしまうので、
＞時空や座標系を指定せずに「こういう値になる」なんて事は答えられる
＞わけがないのですが、

どのような時空→地球や太陽（弱すぎれば、もっと強い中性子星）などとします。
どのような座標系→局座標は慣れてないので、直交座標とします。

無重力で、g11=g22=g33=1, g44=-1, 非対角成分=0であったのであれば、
太陽などの重力場（弱すぎれば、もっと強い中性子星）では、数値の傾向として
g11=g22=g33=0.9
g44=-1.1
非対角成分=0.1
という具合か、または
g11=g22=g33=1.1
g44=-0.9
非対角成分=0.1
という感じになるのでしょうか？

g11=g22=g33=1
g44=-1
非対角成分=0.1
のように非対角成分だけが変化することには、ならないのでしょうね？

一般相対論が出来上がって、日食で光が曲がるとか、ドップラー効果で波長が
伸びたりするというのは、聞きますが、どこかで、重力の計量（10個）を実際に測定したことはあるのでしょうか？

回答No.1

eatern27

質問１
ローレンツ変換は計量テンソルを不変にする変換ですので、普通の慣性系を考えている限り、計量テンソルの成分が何かの速度によって変わるというよな事はありません。

ユークリッド内積で直交を定義すれば、ローレンツ変換後の座標系は斜交座標系となるのでしょうが、普通はそういうおかしな事はしませんので、ローレンツ変換後の座標系は斜交座標系にはなりません。

>下記ＨＰの行列式の値になると考えてよろしいでしょうか？
そのページにある行列式はdet(Λ)くらいしか見当たりませんが、これの事を仰っているのですか？

質問2
座標変換前にg11=g22=g33=1, g44=-1, 非対角成分=0であったのであれば、
何らかの座標変換でお書きになっている「計量1」または「計量2」になる事は決してありません。

また、計量テンソルの各成分の合計が不変量というような事はありません。

ところで、お書きになっているwikiのページでΛと書かれているローレンツ変換を表す行列と、計量テンソルを混同していませんか？

補足

お返事有難う御座います。

＞ところで、お書きになっているwikiのページでΛと書かれているローレンツ変換を表す行列と、計量テンソルを混同していませんか？

ご指摘有難う御座います。混同してました。

＞座標変換前にg11=g22=g33=1, g44=-1, 非対角成分=0であったのであれば、
何らかの座標変換でお書きになっている「計量1」または「計量2」になる事は決してありません。

重力場（非対角成分が０でない状態）は、自由落下させることより局所的には無重力状態になり、等価原理により、慣性系（g11=g22=g33=1, g44=-1の状態）に変換できます。ですから、「計量1」または「計量2」になる事はあるのではないでしょうか？（「計量1」または「計量2」は、例としては、数値が酷すぎるかもしれませんが、、）

ミンコフスキー計量の場合は、かならず非対角成分=0です。
空間が湾曲している場合などは、非対角成分が０以外になるらしいですが、そのときの計量は、具体的にどのような値になるのでしょうか？
シュヴァルツシルトの解でも、下記ＨＰの式を見る限り、非対角成分は、０のようです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E8%A7%A3