固有値の応用

質問

添付の問題の解き方がわかりません。
問題としては行列の固有値を求めて解かなければなりません。
ちなみに固有値が1のときベクトルは[-1 1]
固有値が3のときにベクトルのひとつとして[1 1]があります。
これらを用いて座標変換を行い、変換先でのu,vにおける図形を求めたいです。
ご教授お願いします。

回答No.3

tmiyoshi · ベストアンサー

多分ですが、
２つの固有ベクトルから座標軸を４５度回転してやればいいことが分かるので、
逆行列を求める時に下記のように変換する

(x) (2 -1)(1/√2 1/√2 )(u)
( ) = 1/3( )( )( )
(y) (-1 2)(-1/√2 1/√2)(v)

から

x = (/3√2)(3u + v)

y = (1/3√2)(-3u + v)

x^2 + y~2 = 1に代入して

従って、

u^2 + (v/3)^2 =1

長軸３、短軸１の楕円になります。

お礼

回転による座標変換でも解けるのですね．
勉強になりました．
ありがとうございます．

回答No.2

tmiyoshi

固有値が１で固有ベクトルが(1,-1)の時、
u = x
v = y

となるので、これをx^2 + y^2 = 1 に代入して

u^2 + v^2 = 1
（半径が１の円）

また、

固有値が３で固有ベクトルが(1,1)の時、
u = 3x
v = 3y

となるので、これをx^2 + y^2 = 1 に代入して

(u/3)^ + (v/3)^2 = 1
（長軸、短軸ともに３の楕円）

では駄目なのでしょうか？

お礼

解答ありがとうございます．
示された解法ではなく，座標変換によりどのような軌跡が得られるかを求めなければなりません．
実際固有ベクトルは無数にありますので，(1,-1)と(1,1)のときのみ満たすだけでは十分といえないと思います．

回答No.1

noname#199771

画像の内容と質問文の本文の内容とが合ってないようにみえます。
(x y)^Tの左にあるのが行列なのか別の何かなのかもわかりづらいし。

「一体、本当の問題は何？」ということです。
たぶんそれで回答がついていないのでしょう。

画像に書かれた問題文には固有値とか図形を求めるとか書かれて
いませんよね？固有値云々というのは出題者に別途要求されたの
でしょうか？そして図形を求めるというのもそうなんですか？それと
もあなたがそう考えた？

少なくとも、u,vが満たす方程式を求めることは要求されてないのでは？
小学校の教師とかによくいる、掛ける数と掛けられる数が逆だと×に
するような人と同じニオイをその出題者に感じます。

たとえば、係数行列のrankが2だから計算しなくても楕円になること
がわかります。それだけではいけませんか？
問題文が漠然としているので答えが漠然としていても文句いわれな
さそう。

固有値をどうしても使いたければ使って射影分解したり、対角化して
挙動を調べたりしてもいいですし。もし対角化の仕方がわからないと
かならそういう質問の仕方をしてください。

お礼

ご指摘ありがとうございました．

補足

問題はまず，(1)として行列[2 1,1 2]における固有値および固有ベクトルを求めよ，(2)として画像の問題があり，なおかつ(1)で得られた答えを解答に利用せよというものでした．
こちらで問題を省略してしまいましたので，分かりづらくなり申し訳ありませんでした．
楕円型になるのは明らかに分かるのですが，計算過程においてうまく解答へもっていけません．
ちなみに対角化のやりかたは存しております．